101 文華高中計算一題

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thepiano
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101 文華高中計算一題

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若 p、q 是自然數,且 p^2 + 5pq + q^2 = 7^101,求 q 的所有可能解

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thepiano
文章: 4938
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Re: 101 文華高中計算一題

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填充第 12 題

計算 Σ[10^(k/40)] (k = 1 ~ 40),其中 [] 是高斯符號

分別算出 40 * log2、40 * log3、......、40 * log10



(1) 1 ≦ k ≦ 12,[10^(k/40)] = 1
(2) 13 ≦ k ≦ 19,[10^(k/40)] = 2
(3) 20 ≦ k ≦ 24,[10^(k/40)] = 3
(4) 25 ≦ k ≦ 27,[10^(k/40)] = 4
(5) 28 ≦ k ≦ 31,[10^(k/40)] = 5
(6) 32 ≦ k ≦ 33,[10^(k/40)] = 6
(7) 34 ≦ k ≦ 36,[10^(k/40)] = 7
(8) 37 ≦ k ≦ 38,[10^(k/40)] = 8
(9) k = 39,[10^(k/40)] = 9
(10) k = 12,[10^(k/40)] = 10

所求 = 12 + 2 * 7 + 3 * 5 + 4 * 3 + 5 * 4 + 6 * 2 + 7 * 3 + 8 * 2 + 9 + 10 = 141
最後由 thepiano 於 2012年 5月 1日, 14:50 編輯,總共編輯了 1 次。

happier
文章: 103
註冊時間: 2010年 1月 5日, 23:28

Re: 101 文華高中計算一題

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請教填充13的a7、填充14
感謝回答。
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thepiano
文章: 4938
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Re: 101 文華高中計算一題

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填充第 13 題
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第 14 題
易知 cos∠BCD = 1/5
△ABC 面積為 6√6

定坐標,A(x,y,z),C(0,0,0),D(6,0,0),B(1,2√6,0)


x^2 + y^2 + z^2 = 5^2
(x - 6)^2 + y^2 + z^2 = 5^2
(x - 1)^2 + (y - 2√6)^2 + z^2 = 6^2
易求出 x = 3,y = (√6)/3,z = (√138)/3

所求 = (1/3) * 6√6 * (√138)/3 = 4√23
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ellipse
文章: 374
註冊時間: 2010年 5月 22日, 14:09

Re: 101 文華高中計算一題

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happier 寫:請教填充13的a7、填充14
感謝回答。
#13提供另一種想法
首先多項式先配對
[(x+1)(x+10)]*[(x+2)*(x+9)]*[(x+3)(x+8)]*[(x+4)(x+7)]*[(x+5)*(x+6)]
=(x^2+11x+10)*(x^2+11x+18)*(x^2+11x+24)*(x^2+11x+28)*(x^2+11x+30)
(令A=x^2+11x)
=(A+10)*(A+18)*(A+24)*(A+28)*(A+30)
=(A^2+28A+180)*(A^2+58A+840)*(A+30)
=A^5+110A^4+......................(因為只要求x^8,x^7的係數,所以A^3以下就不用看)
=(x^2+11x)^5+110*(x^2+11x)^4+.................
在(x^2+11x)^5中的一般項為C(5,r)*11^r* x^(10-r)
在110(x^2+11x)^4中的一般項為110*C(4,k)*11^k *x^(8-k)
當r=2,k=0,可求x^8的係數=C(5,2)*11^2+110*C(4,0)=55*24
當r=3,k=1,可求x^7的係數=C(5,3)*11^3+110*C(4,1)*11=55^2*6

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thepiano
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Re: 101 文華高中

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填充第 3 題

這題蠻有趣的

令 S = 16c + 12d - 2ac - 2bd - 47
= (c^2 + d^2 + 96) - 2ac - 2bd - 47 + (a^2 + b^2 - 49)
= (a - c)^2 + (b - d)^2

S 可視為圓 x^2 + y^2 = 7^2 上一點 (a,b) 到 (x - 8)^2 + (y - 6)^2 = 2^2 上一點 (c,d) 距離的平方

畫圖可知,S 之最小值 = √(8^2 + 6^2) - 7 - 2 = 1

所求 = S^(1/3) 之最小值 = 1

victy614
文章: 7
註冊時間: 2012年 4月 30日, 06:35

Re: 101 文華高中計算一題

文章 victy614 »

請教老師 本份考卷第15題如何解題? 感謝您!

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thepiano
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Re: 101 文華高中計算一題

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idontnow90
文章: 33
註冊時間: 2009年 6月 11日, 09:49

Re: 101 文華高中計算一題

文章 idontnow90 »

第 14 題
請問如何知道坐標要這樣定?謝謝~

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thepiano
文章: 4938
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Re: 101 文華高中計算一題

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idontnow90 寫:第 14 題
請問如何知道坐標要這樣定?
有疑問的應是 B 座標
因 cos∠BCD = 1/5

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