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98 彰化高中第 13 題

發表於 : 2009年 6月 11日, 22:18
thepiano
求下列聯立方程式之實數解 (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)

(x_3 + x_4 + x_5 + x_6)^5 = 4x_1 + 4
(x_4 + x_5 + x_6 + x_1)^5 = 4x_2 - 4
(x_5 + x_6 + x_1 + x_2)^5 = 4x_3 + 4
(x_6 + x_1 + x_2 + x_3)^5 = 4x_4 - 4
(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^5 = 4x_5 + 4
(x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^5 = 4x_6 - 4


這題蠻好玩的!
x_1 = x_3 = x_5
x_2 = x_4 = x_6
(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6) = (-1,1,-1,1,-1,1) = (-3/4,5/4,-3/4,5/4,-3/4,5/4) = (-5/4,3/4,-5/4,3/4,-5/4,3/4)

Re: 98 彰化高中第 13 題

發表於 : 2009年 6月 12日, 08:55
MathPower
請問鋼琴老師
x_1 = x_3 = x_5
x_2 = x_4 = x_6
是怎麼看出來的 :?
謝謝

Re: 98 彰化高中第 13 題

發表於 : 2009年 6月 12日, 09:53
thepiano
(x_3 + x_4 + x_5 + x_6)^5 = 4x_1 + 4 ...... (1)
(x_4 + x_5 + x_6 + x_1)^5 = 4x_2 - 4 ...... (2)
(x_5 + x_6 + x_1 + x_2)^5 = 4x_3 + 4 ...... (3)
(x_6 + x_1 + x_2 + x_3)^5 = 4x_4 - 4 ...... (4)
(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^5 = 4x_5 + 4 ...... (5)
(x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^5 = 4x_6 - 4 ...... (6)

若 x_1 > x_3 ...... (i)
由 (1) 和 (3)
(x_3 + x_4 + x_5 + x_6)^5 > (x_5 + x_6 + x_1 + x_2)^5
x_3 + x_4 > x_1 + x_2
x_4 > x_2

由 (4) 和 (2)
(x_6 + x_1 + x_2 + x_3)^5 > (x_4 + x_5 + x_6 + x_1)^5
x_2 + x_3 > x_4 + x_5
x_3 > x_5 ...... (ii)

由 (3) 和 (5)
(x_5 + x_6 + x_1 + x_2)^5 > (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^5
x_5 + x_6 > x_3 + x_4
x_6 > x_4

由 (6) 和 (4)
(x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^5 > (x_6 + x_1 + x_2 + x_3)^5
x_4 + x_5 > x_6 + x_1
x_5 > x_1 ...... (iii)

由 (i),(ii),(iii) 可知 x_1 = x_3 = x_5
同理 x_2 = x_4 = x_6

若一開始是假設 x_1 < x_3,結果一樣!