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試求容器的開口之值為何

1.試從任意四邊形的內角和為360度,導出:任意三角形的內角和為180度.



2.根據下面一般銳角三角形的公設:
公設1:一般的銳角三角形不是直角三角形
公設2:一般的銳角三角形不是等腰三角形
公設3:兩角相差不到15度時,兩角看成相等
試問一般的銳角三角形是否存在?若存在,有多少個呢?

我要問的問題是如何和國中一年級上學期的學生講解 附加檔案的面積問題 (第四題和第六題) 呢？

我目前想到的解法是：

第四題：我會先補充國三的相似形觀念，然後推出平行線截等比例線段的觀念，
最後利用兩個三角形如果夾一個公共角，則面積比是夾邊乘積的比的觀念，解出斜線部分面積。
但感覺太複雜，想知道有沒有只學過國一上學期的數學(因數倍數、正負數四則運算、一元一次方程式)
就能解出來的辦法呢？

第六題：我想到的解法會用到二元一次方程式，也就是分別假設圖中未知的兩塊面積分別是 x, y
利用兩個三角形如果等高，則兩個三角形的面積比是底邊的比，可以列出兩個方程式，再加以解
之，但這個方法還會用到比例式的性質，也就是相等的比會滿足內項乘積 = 外項乘積的概念。
同樣想請問有沒有國一上學期的學生就能懂的解法呢？

http://www.badongo.com/file/26101504

真夭壽的台南縣，每次都要四個小時才打得完。

感謝 八神庵 兄提供試題，請參考附件

8y383249 寫:1. 想請問第一部分填充題的第3題極限,先分子分母相乘,得到 lim(-x+1)/[√(x^2-x+1)+x],當x趨近負無限大
時,分母趨近零,分子趨近負1,所以,應該是負無限呀,可是,答案是正無限,我哪裡錯了,還是正負無限沒差
2. 另想問第一部分填充題的第4題積分,麻煩老師們告知這兩題,謝謝

#3
基本上,不要用負無窮去做,很容易做錯,因為到(-x+1)/[√(x^2-x+1)+x]這步驟
若是上下同除以x的話,要小心因為x是負的,弄到根號內就要變號
所以乾脆令t=-x ,原式改為 lim[√(t^2+t+1)+t],t趨近正無限大
這樣就比較不會算錯,而事實上這題直接用看的就知道答案是正無限大

#4
分成[-2,0]及[0,2]兩部份
[-2,0]:為"上函數y=(4-x)^0.2"(半徑為2的上半圓)與"下函數y=2+x"所圍成面積-------------(1)
[0,2]:為"上函數y=2+x"與"下函數y=(4-x)^0.2"所圍成面積-------------(2)
所求=(1)+(2),可將(1)以y軸為對稱軸,對稱到右邊,然後與(2)合併成一個直角三角形
所求=4*2/2=4

someone老師真是太讚了
在學校一定也是熱心的好老師

armopen 的算法是可行的，
不過對於一般化的問題 a tan^2(x) + b tan(x) + c cot(x) + d cot^2(x) 應該沒辦法使用

9tan^2(x) + 6cot(x) + 6cot(x) + 4cot^2(x) + 6tan(x) + 6tan(x) ≧ 3 (9*6*6)^(1/3) + 3 (4*6*6)^(1/3) = 9*12^(1/3) + 6*18^(1/3)

其中等號成立時 9tan^2(x) = 6cot(x) 且 4cot^2(x) = 6tan(x) ，即 tan(x)=(2/3)^(1/3)

這個問題用錯排好像比較慢，錯排應該要這麼想：
全部 - (1個數字違規) + (2個數字違規) - (3個數字違規) + (4個數字違規) -(5個數字違規) +(6個數字違規)

其中 2 個數字違規，是「1、2 違規」跟是「1、3 違規」，又要分類討論
其他的更複雜，所以還是直接算比較快吧！(見附件)

一個一個列出來找規律 ......
f_1(2011) = 6
f_2(2011) = 36
f_3(2011) = 45
f_4(2011) = 41
:
:
f_10(2011) = f_18(2011) = 89

題目請參考
http://math.pro/db/thread-1113-1-1.html

第 5 題
8^100 = 2^300 = 2^9 * 2^291 ≡ 0 (mod 512)

7^100 + 9^100
= (2^3 - 1)^100 + (2^3 + 1)^100
≡ 2[C(100，98) * 2^6 + 1]　(mod 512)
≡ 258


第 17 題
甲：同時取 5 枚銅板丟擲一次，正面出現的期望個數是 5/2 個
2 * (5/2) = 5

乙：出現第 k 個正面可贏得獎金 k 元
出現第 1 個正面可贏得獎金 1 元
出現第 2 個正面可贏得獎金 2 元，加上前面的 1 元共 3 元
......
1 * [C(5，1) / 32] + 3 * [C(5，2) / 32] + 6 * [C(5，3) / 32] + 10 * [C(5，4) / 32] + 15 * [C(5，5) / 32] = 5

玩一次這個遊戲，不管是進入甲套玩法還是乙套玩法，得獎金的期望值都是 5 元

或者扣掉一開始付的 10 元，得到 (-5) 元

感謝 八神庵 兄提供試題，請參考附件

用數字 1, 2, 3, 4, 5, 6 作成的六位數密碼，數字不重複使用，且前兩位沒有 1, 2, 中間沒有 3, 4, 末兩位沒有 5, 6，

則可以作出幾個密碼？

答案： 錯排 6! - C(3,1) * 2 * 4! + C(3,2) * 2^2 * 2! - 2^3 = 592

我知道應該是用 (全部) - (前兩位排 1 or 2 或 中兩位排 3 or 4 或 末兩位排 5 or 6)

但不理解為何 前兩位排 1 or 2 的方法數是 C(3,1) * 2 * 4!, 請大家幫忙想想, 謝謝.

從自然數列 a_1, a_2, a_3, a_4, ... , a_100 中選取 k 個，則

(1) 若 k 個中任兩個均不相鄰，則 k 最多是多少？

(2) 若 k 個中恰兩個相鄰，其他任兩個均不相鄰的機率為何？

麻煩 thepiano 老師解惑, 謝謝您的幫忙.

設0<x<pi/2,求9tan^2(x)+4cot^2(x)+12tan(x)+12cot(x) 之最小值
為何不能直接用算術平均數大於等於幾何平均數呢?

感謝 八神庵 兄提供試題，請參考附件

題目請參考
http://math.pro/db/thread-1113-1-1.html

第 5 題
8^100 = 2^300 = 2^9 * 2^291 ≡ 0 (mod 512)

7^100 + 9^100
= (2^3 - 1)^100 + (2^3 + 1)^100
≡ 2[C(100，98) * 2^6 + 1]　(mod 512)
≡ 258


第 17 題
甲：同時取 5 枚銅板丟擲一次，正面出現的期望個數是 5/2 個
2 * (5/2) = 5

乙：出現第 k 個正面可贏得獎金 k 元
出現第 1 個正面可贏得獎金 1 元
出現第 2 個正面可贏得獎金 2 元，加上前面的 1 元共 3 元
......
1 * [C(5，1) / 32] + 3 * [C(5，2) / 32] + 6 * [C(5，3) / 32] + 10 * [C(5，4) / 32] + 15 * [C(5，5) / 32] = 5

玩一次這個遊戲，不管是進入甲套玩法還是乙套玩法，得獎金的期望值都是 5 元

或者扣掉一開始付的 10 元，得到 (-5) 元

從自然數列 a_1, a_2, a_3, a_4, ... , a_100 中選取 k 個，則

(1) 若 k 個中任兩個均不相鄰，則 k 最多是多少？

(2) 若 k 個中恰兩個相鄰，其他任兩個均不相鄰的機率為何？

麻煩 thepiano 老師解惑, 謝謝您的幫忙.

用數字 1, 2, 3, 4, 5, 6 作成的六位數密碼，數字不重複使用，且前兩位沒有 1, 2, 中間沒有 3, 4, 末兩位沒有 5, 6，

則可以作出幾個密碼？

答案： 錯排 6! - C(3,1) * 2 * 4! + C(3,2) * 2^2 * 2! - 2^3 = 592

我知道應該是用 (全部) - (前兩位排 1 or 2 或 中兩位排 3 or 4 或 末兩位排 5 or 6)

但不理解為何 前兩位排 1 or 2 的方法數是 C(3,1) * 2 * 4!, 請大家幫忙想想, 謝謝.

設0<x<pi/2,求9tan^2(x)+4cot^2(x)+12tan(x)+12cot(x) 之最小值
為何不能直接用算術平均數大於等於幾何平均數呢?