100年板橋高中數學考題

版主: thepiano

math614
文章: 7
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100年板橋高中數學考題

文章 math614 » 2011年 6月 4日, 00:27

考題見附加檔案~
大家一起來討論吧! @__<"
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100年板橋高中教師甄選數學考題.pdf
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thepiano
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Re: 100年板橋高中數學考題

文章 thepiano » 2011年 6月 4日, 08:24

大概只有第 1 題和第 3 題比較"正常" ...... :o

第 1 題
(1) 題目最後應是 ...... + C(2011,2009) - C(2011,2011)

用二項式定理展開 (1 + i)^2011

而 (1 + i)^2011 = 2^(2011/2) * [cos(nπ/4) + isin(nπ/4)

以上二式,其虛部相等
C(2011,1) - C(2011,3) + C(2011,5) - C(2011,7) + ...... + C(2011,2009) - C(2011,2011)
= 2^(2011/2) * sin(2011π/4)
= 2^1005

(2) 去年萬芳高中考過 http://math.pro/db/viewthread.php?tid=969


第 3 題
證明正整數數很簡單,用二項式定理展開即可
最後由 thepiano 於 2011年 6月 4日, 23:06 編輯,總共編輯了 2 次。

dream10
文章: 304
註冊時間: 2009年 2月 15日, 00:00

Re: 100年板橋高中數學考題

文章 dream10 » 2011年 6月 4日, 08:56

第三題應該是證2的倍數吧

第9題~~4小題共9分~~~ :o

還有問芬蘭的教育理念~~~=.=

Mailliw
文章: 11
註冊時間: 2011年 6月 4日, 13:56

Re: 100年板橋高中數學考題

文章 Mailliw » 2011年 6月 4日, 13:57

第三題是2^n無誤。
敝人的作法是用數學歸納法,
假設(3+√5)^n + (3-√5)^n = α_n.2^n,α_n∈N
當n=1時成立,
設n<k,∀k>=2時皆成立,
則(3+√5)^(k-1) + (3-√5)^(k-1) = α_(k-1).2^(k-1)
∴(3+√5)^(k-1) = α_(k-1).2^(k-1) - (3-√5)^(k-1)
(3+√5)^k = α_(k-1).2^(k-1).(3+√5) - (3-√5)^(k-2).4
同理,
(3-√5)^k = α_(k-1).2^(k-1).(3-√5) - (3+√5)^(k-2).4
所以
(3+√5)^k + (3-√5)^k = α_(k-1).2^(k-1).6 - 4.[ (3+√5)^(k-2) + (3-√5)^(k-2) ]
= α_(k-1).2^k.3 - 4[ α_(k-2).2^(k-2) ]
= α_(k-1).2^k.3 - α_(k-2).2^k = α_k.2^k
由歸納法假設得證。
不知道這樣對不對?


第六題好像沒有說可以重覆欸…可能敝人記錯了…


第七題有個條件是abc三者不必全相異。

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thepiano
文章: 4770
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 100年板橋高中數學考題

文章 thepiano » 2011年 6月 4日, 14:59

錯誤,自刪 ......
最後由 thepiano 於 2011年 6月 8日, 21:02 編輯,總共編輯了 2 次。

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thepiano
文章: 4770
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 100年板橋高中數學考題

文章 thepiano » 2011年 6月 4日, 16:46

第 10 題
定坐標
A'(2,√18,0),B'(0,0,0),C'(2,0,0)
A(2,√18,2),B(0,0,2),C(2,0,2)
令 P(2t,0,2 - 2t)

PC + PA' = √[(2t - 2)^2 + (-2t)^2] + √[(2t - 2)^2 + 18 + (2 - 2t)^2] = √[(2t - 2)^2 + (2t)^2] + √[(2t + 1)^2 + (2t - 5)^2]
看成 y = x 上一點 Q(2t,2t) 到 M(2,0) 和 N(-1,5) 之距離和
其最小值為 MN = √34

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thepiano
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註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 100年板橋高中數學考題

文章 thepiano » 2011年 6月 4日, 21:19

第 3 題
數學歸納法.請參考附件
附加檔案
20110604.doc
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Joe
文章: 16
註冊時間: 2011年 5月 23日, 06:36

Re: 100年板橋高中數學考題

文章 Joe » 2011年 6月 4日, 22:47

請問第一題的第一小題答案怎麼算出1000?

請問第五題 這段文字

則 E 離地平面 (10 + 12) / 2 = 11,跟 C 同一高度

是怎麼研判的呢

把ABCD看作一個四面體

而CE可視為面BCD的對稱軸 平行地面(因為另兩個頂點距離剛好為10,12) 這樣嗎

謝謝大大指點

另外想請問第八題 謝謝
最後由 Joe 於 2011年 6月 4日, 23:33 編輯,總共編輯了 1 次。

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thepiano
文章: 4770
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 100年板橋高中數學考題

文章 thepiano » 2011年 6月 4日, 23:14

Joe 寫:請問第一題的第一小題答案怎麼算出1000?
小弟打錯了,是 2^1005
老是把 2011 看成 2001,前面的 2 也漏看,唉! :embs: 年紀大囉!
Joe 寫: 則 E 離地平面 (10 + 12) / 2 = 11,跟 C 同一高度
是怎麼研判的呢
B 在地平面的垂足為 P,E 在地平面的垂足為 Q,D 在地平面的垂足為 R
則 ER 是梯形 BPRD 之中線

不過這題的答案跟 PTT 不同,應該是小弟算錯了,可是卻不知錯在哪?
有看出來的請指正一下,謝謝!
Joe 寫: 另外 手邊沒有徐式第六冊...很不好意思的想請問第八題
聽說是由內心向三邊作垂線,這三條就是要切開的地方

Mailliw
文章: 11
註冊時間: 2011年 6月 4日, 13:56

Re: 100年板橋高中數學考題

文章 Mailliw » 2011年 6月 5日, 16:25

第八題外心到三頂點連線亦可。
不過敝人是分類討論欸…
因為它有要求最少刀數,
所以分為:
Ⅰ.等腰三角形:0刀。
Ⅱ.非等腰之直角三角形:1刀
斜邊中點到直角的連線,即外接圓半徑。
Ⅲ.非等腰且非直角但有一角為45°:2刀
先作一高,分為兩直角三角形,其中一個即為等腰直角三角形,可翻;
再將另一直角三角形如Ⅱ般切為兩片即可上桌(誤)
Ⅳ.其他:3刀
一樣先作一高,再將兩個直角三角形各切一刀。

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