請教8題

版主: thepiano

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8y383249
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請教8題

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1.ABCD 是四邊形,其中 BC=CD=DA=1 、∠DAB = 135°、∠ABC = 75°。則AB =?
2.a_n=[1×3×5×…×(2n-1)]/(2×4×6×…×2n),試求lim_(n->無限大)a_n=?
3. x為實數,kcos^2x-kcosx+1>=0恆成立,求 k 的範圍
4.已知 cosa+cosb+cosc=0,試證明cos3a+cos3b+cos3c=12cosacosbcosc 。
5. 已知H為三角形ABC的垂心,由H分別作HD垂直BC,HE垂直AC,HF垂直AB,試証:HD:HE:HF=secA:secB:secC
6. 我們定義 n!=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1,試問使得n!的最後90位數字全是0的最小正整數 是多少?(例如 5!最後只有1位數字是0)
7. 若a = 122333444455555666666777777788888888999999999 ,試求 a^3/11的餘數為?(4)
8. ABCDEF為邊長皆相等的六邊形,其中點A、C、E落在以O為圓心,半徑為3的圓上;點B、D、F落在以O為圓心,半徑為1的圓上。試求此六邊形ABCDEF的周長為?(6√7)
謝謝
感謝鋼琴兄解答
第1題為98和美實驗學校,2~4題為97文華高中,5~6題為97潮州高中,7~8題95彰化女中
最後由 8y383249 於 2011年 2月 12日, 14:42 編輯,總共編輯了 1 次。

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thepiano
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Re: 請教8題

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考古題建議寫上年度及學校

第 2 題
http://forum.nta.org.tw/examservice/sho ... hp?t=47781


第 3 題
k(cosx)^2 - kcosx + 1 ≧ 0
cosx - (cosx)^2 > 0,k ≦ 1/[cosx - (cosx)^2]
cosx - (cosx)^2 < 0,k ≧ 1/[cosx - (cosx)^2]

f(x) = cosx - (cosx)^2
f'(x) = 2cosxsinx - sinx = sinx(2cosx - 1)

cosx = 1/2 時,f(x) 有極大值 1/4
sinx = 0,cosx = -1 時,f(x) 有極小值 -2

-1/2 ≦ k ≦ 4


第 5 題
HC = HD / sin∠HCD = HE / sin∠HCE
HD / cosB = HE / cosA
HD:HE = secA:secB

同理 HD / cosC = HF / cosA
HD:HF = secA:secC

HD:HE:HF = secA:secB:secC


第 7 題
11 的倍數:奇數位數字和 = 偶數位數字和
從 122333444455555666666777777788888888999999999 中刪去紅色重複的數字
可知 a ≡ (1 + 5 + 9) - (3 + 7) ≡ 5 (mod 11)
a^3 ≡ 5^3 ≡ 4 (mod 11)


第 8 題
ABCDEF 是一個似三角飛鏢的凹六邊形
OA = 3,OB = 1,∠AOB = 60 度
用餘弦定理可求出 AB = √7
所求 = 6√7
最後由 thepiano 於 2011年 2月 12日, 15:23 編輯,總共編輯了 1 次。

ellipse
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Re: 請教8題

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#4 令x=cos(a),y=cos(b),z=cos(c)
原式=4x^3-3x+4y^3-3y+4z^3-3z
=4(x^3+y^3+z^3)-3(x+y+z)
=4(x^3+y^3+z^3) (因為x+y+z=0)
=4[(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz]
=4[0*(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz]
=12xyz=12cos(a)*cos(b)*cos(c)

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thepiano
文章: 5549
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Re: 請教8題

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第 1 題
viewtopic.php?f=53&t=463


第 6 題
[n/5] + [n/25] + [n/125] + ..... = 90
n = 350 時,[n/5] + [n/25] + [n/125] = 86
355,360,365,370
故所求為 370

ellipse
文章: 374
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Re: 請教8題

文章 ellipse »

#1 三角形ACD為正三角形好像不是那麼明顯
可能需要用到正弦定理證出來

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thepiano
文章: 5549
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Re: 請教8題

文章 thepiano »

(1) 若 AC > 1
令 ∠DAC = ∠DCA = x∘,∠ADC = (180 - 2x)∘
AC > AD
180 - 2x > x
x < 60

∠BAC = (135 - x)∘,∠ABC = 75∘
AC > BC
75 > 135 - x
x > 60

矛盾 ......

(2) 若 AC < 1,同上法,亦矛盾

故 AC = 1

8y383249
文章: 85
註冊時間: 2010年 8月 26日, 20:10

Re: 請教8題

文章 8y383249 »

感謝鋼琴兄和ellipse兄的解析

請問鋼琴兄,"似三角飛鏢"的圖形是如我所附件的嗎? 可是覺得怪怪的,
還希望鋼琴兄能指點,謝謝
附加檔案
似三角飛鏢.doc
(24 KiB) 已下載 583 次

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thepiano
文章: 5549
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 請教8題

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以下連結有圖形可參考
viewtopic.php?f=53&t=398

ellipse
文章: 374
註冊時間: 2010年 5月 22日, 14:09

Re: 請教8題

文章 ellipse »

thepiano 寫:(1) 若 AC > 1
令 ∠DAC = ∠DCA = x∘,∠ADC = (180 - 2x)∘
AC > AD
180 - 2x > x
x < 60

∠BAC = (135 - x)∘,∠ABC = 75∘
AC > BC
75 > 135 - x
x > 60

矛盾 ......

(2) 若 AC < 1,同上法,亦矛盾

故 AC = 1
鋼琴兄有如此犀利的判斷力
任何難題在你手上處理後就顯得非常容易了!

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