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114 內湖高中二招
發表於 : 2025年 5月 14日, 14:13
由 thepiano
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Re: 114 內湖高中二招
發表於 : 2025年 5月 31日, 13:44
由 thepiano
第 14 題
所求即 △BCD 面積
= △ABC + △ACD - △ABD
Re: 114 內湖高中二招
發表於 : 2025年 5月 31日, 17:45
由 thepiano
第 13 題
直線 OA：y = (b/a)x
直線 CB：y = (b/a)x + 1
對每一正整數 k，都恰有一個格子點 P_k(k，t) 位於 OABC 的內部
其中 0 < k < a
bk/a < t < (bk/a) + 1
P_k 到 OA 的距離 = |bk - at|/√(b^2 + a^2)
△OP_kA = (1/2) * OA * |bk - at|/√(b^2 + a^2) = |bk - at|/2
|bk - at| 是正整數，所求之最小值為 1/2
例如：取 a = 2，b = 1，k = 1，t = 1
若要嚴謹，要證明 (a，b) = 1，存在 (k，t) 使得 bk - at = -1，且 (k，t) 在 OABC 內部
Re: 114 內湖高中二招
發表於 : 2025年 6月 1日, 00:35
由 thepiano
第 11 題
球蓋體積 = [π * h^2 * (3R - h)]/3
其中 R 是球的半徑，h 是球蓋的高度
球 A 與球 B 的交集體積是球蓋體積的 2 倍
此時 R = 1，h = 1 - r/2
交集體積 = [π * (1 - r/2)^2 * (3 - 1 + r/2)]/3 = π(r^3 - 12r + 16)/12
球 A 與球 B 的聯集體積 V = 兩球體積和 - 交集體積
= (8/3)π - π(r^3 - 12r + 16)/12
= π(-r^3 + 12r + 16)/12