美夢成真教甄討論區

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計算第 2 題
2xy(x^2 - y^2) = x^2 + y^2
xy(x + y)(x - y) = (x^2 + y^2)/2
(x^2 - xy)(y^2 + xy) = (x^2 + y^2)/2

(x^2 - xy)(y^2 + xy) ≦ [(x^2 - xy + y^2 + xy)^2]/4 = [(x^2 + y^2)^2]/4
(x^2 + y^2)/2 ≦ [(x^2 + y^2)^2]/4
x^2 + y^2 ≧ 2

填充第 1 題
設另三個頂點 B、C、D 分別與地面 (z = 0) 的距離分別是 5、6、7
設 E 是 BD 中點，O 是 △BCD 中心
則 C、O、E 三點都在平面 z = 6 上

D 到 z = 6 的距離是 1，又 DE = (5/2)√2
設平面 BCD 和 平面 z = 6 的夾角 = DE 和平面 z = 6 的夾角 = θ
則 sinθ = 1/[(5/2)√2] = (1/5)√2

AO = (1/3)√6 * 5√2 = (10/3)√3
AO 和平面 z = 6 的夾角 = π/2 - θ
A 到 z = 6 的距離 = AO * sin(π/2 - θ) = (10/3)√3 * (1/5)√23 = (2/3)√69

所求 = 6 - (2/3)√69

填充第 9 題
作 BF 垂直直線 AD 於 F，FBCD 是正方形
CE = x，DE = 12 - x ，AF = y，AD = 12 - y
(12 - x)^2 + (12 - y)^2 = 10^2

角 CBE + 角 ABF = 45 度
tan角CBE = x/12，tan角ABF = y/12
(x/12 + y/12) / [1 - (x/12)(y/12)] = 1

可解出 x = 4 or 6

填充第 6 題
先通分成分母是 x^3
用第一次 L'Hopital's Rule，可得 2 + a = 0，a = -2
再用第二、三次 L'Hopital's Rule，可得 16 + 6b = 0，b = -8/3
字太多就不打了

計算第 3 題
化簡後，f(x) = 2(cosx)^2 - 4λcosx - 1
令 0 <= t = cosx <= 1
f(t) = 2t^2 - 4λt - 1
圖形對稱軸 t = λ

分別討論以下三種情形
(1) λ < 0，t = 0 時，f(t) 有最小值 -1，不合
(2) 0 <= λ <= 1，t = λ 時，f(t) 有最小值 -2λ^2 - 1 = -11/2，λ = 3/2 or -3/2，不合
(3) λ > 1，t = 1 時，f(t) 有最小值 1 - 4λ = -11/2，λ = 13/8