113 中崙高中

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113 中崙高中

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Re: 113 中崙高中

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第 5 題
z = a + (√3/3 + b)i,w = -a + (√3/3 - b)i,a 和 b 為實數
z^2 + w^2 = (2a^2 - 2b^2 - 2/3) + 4abi = (2√3/3)i

a^2 - b^2 = 1/3
b = √3/(6a)

可解出 a^2 = 1/2
|a| = √2/2


第 7 題
A 關於 x 軸的對稱點 A'(-3,-3)
直線 A'P 與 A'Q 與圓 C:(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 8 - k 相切

直線 A'P:mx - y + 3m - 3 = 0,直線 A'Q:y = nx - y + 3n - 3 = 0,其中 n > m > 0
P(3/m - 3,0)、Q(3/n - 3,0)
PQ = 3/m - 3/n = 7/4

C(2,2) 到直線 A'P 與 A'Q 的距離相等
|5m - 5|/√(m^2 + 1) = |5n - 5|/√(n^2 + 1)
(m - 1)^2/(m^2 + 1) = (n - 1)^2/(n^2 + 1)
mn = 1

3/m - 3/n = 7/4
mn = 1
可解出 m = 3/4,n = 4/3

8 - k = (5m - 5)^2/(m^2 + 1) = 1
k = 7

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Re: 113 中崙高中

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第 4 題
x^2 + 2xy + 2y^2 - 2x - 2y = 0
x^2 + y^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 0
1 + 2xy + y^2 - 2x - 2y = 0
2x(y - 1) + (y - 1)^2 = 0
(y - 1)(2x + y - 1) = 0
y = 1 or y = 1 - 2x

(1) y = 1,x = 0
(2) y = 1 - 2x,x^2 + (1 - 2x)^2 = 1
x = 4/5,y = -3/5

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Re: 113 中崙高中

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第 11 題
1 天吃完:1 種情形
2 天吃完:H(2,5) = 6 種情形
3 天吃完:H(3,4) = 15 種情形
4 天吃完:H(4,3) = 20 種情形
5 天吃完:H(5,2) = 15 種情形
6 天吃完:H(6,1) = 6 種情形
7 天吃完:1 種情形
以上共 64 種情形

所求 = (1 * 1 + 2 * 6 + 3 * 15 + 4 * 20 + 5 * 15 + 6 * 6 + 7 * 1)/64 = 4

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