108 台中二中

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thepiano
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108 台中二中

文章 thepiano » 2019年 4月 27日, 10:34

今年第一個公告試題的學校
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108 台中二中_填充題答案.pdf
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thepiano
文章: 4829
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 108 台中二中

文章 thepiano » 2019年 4月 27日, 11:04

計算第 1 題
∠ACD = ∠ABD = 45 度
A、B、C、D 四點共圓

△ADE 和 △BCE 相似
其面積比 = AE^2:BE^2 = (3√5)^2:3^2 = 5:1
△ADE = (1/2) * 3 * 6 = 9
△BCD = 2△BCE = 18/5

huanghs
文章: 38
註冊時間: 2018年 5月 9日, 14:40

Re: 108 台中二中

文章 huanghs » 2019年 4月 27日, 16:51

請問填充3、8與計算4該怎麼做呢? 沒有什麼想法

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thepiano
文章: 4829
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 108 台中二中

文章 thepiano » 2019年 4月 27日, 22:32

填充
第 3 題
老梗題
參考 https://math.pro/db/thread-708-1-1.html


第 8 題
a + b + c = 0
ab + bc + ca = 3
abc = 2

a^3 + 3a = 2
b^3 + 3b = 2
a^3 + 3a - b^3 - 3b = 0
a^2 + ab + b^2 = -3
(a - b)^2 = -3 - 3ab = -3(ab + 1) = -3(2/c + 1) = -3[(c + 2) / c]
同理
(b - c)^2 = -3(bc + 1) = -3[(a + 2) / a]
(c - a)^2 = -3(ca + 1) = -3[(b + 2) / b]

(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2
= -9 - 3(ab + bc + ca)
= -18

(a - b)^2(b - c)^2 + (b - c)^2(c - a)^2 + (a - b)^2(c - a)^2(a - b)^2
= 9[(ab + 1)(bc + 1) + (bc + 1)(ca + 1) + (ca + 1)(ab + 1)]
= 9(2b + ab + bc + 1 + 2c + bc + ca + 1 + 2a + ca + ab + 1)
= 81

f(x) = x^3 + 3x - 2 = (x - a)(x - b)(x - c)
-f(-2) = (a + 2)(b + 2)(c + 2) = 16

(a - b)^2(b - c)^2(c - a)^2
= -27[(a + 2)(b + 2)(c + 2) / (abc)]
= -216

所求 = x^3 + 18x + 81x + 216

huanghs
文章: 38
註冊時間: 2018年 5月 9日, 14:40

Re: 108 台中二中

文章 huanghs » 2019年 4月 27日, 23:08

thepiano 寫:
2019年 4月 27日, 22:32
填充
第 3 題
老梗題
參考 https://math.pro/db/thread-708-1-1.html


第 8 題
a + b + c = 0
ab + bc + ca = 3
abc = 2

a^3 + 3a = 2
b^3 + 3b = 2
a^3 + 3a - b^3 - 3b = 0
a^2 + ab + b^2 = -3
(a - b)^2 = -3 - 3ab = -3(ab + 1) = -3(2/c + 1) = -3[(c + 2) / c]
同理
(b - c)^2 = -3(bc + 1) = -3[(a + 2) / a]
(c - a)^2 = -3(ca + 1) = -3[(b + 2) / b]

(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2
= -9 - 3(ab + bc + ca)
= -18

(a - b)^2(b - c)^2 + (b - c)^2(c - a)^2 + (a - b)^2(c - a)^2(a - b)^2
= 9[(ab + 1)(bc + 1) + (bc + 1)(ca + 1) + (ca + 1)(ab + 1)]
= 9(2b + ab + bc + 1 + 2c + bc + ca + 1 + 2a + ca + ab + 1)
= 81

f(x) = x^3 + 3x - 2 = (x - a)(x - b)(x - c)
-f(-2) = (a + 2)(b + 2)(c + 2) = 16

(a - b)^2(b - c)^2(c - a)^2
= -27[(a + 2)(b + 2)(c + 2) / (abc)]
= -216

所求 = x^3 + 18x + 81x + 216
這個常數項的求法太妙了!! 謝謝鋼琴老師
另外,想請問計算的3、4 要怎麼做呢?

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thepiano
文章: 4829
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 108 台中二中

文章 thepiano » 2019年 4月 28日, 07:19

計算第 3 題
設 a ≦ b ≦ c
0 ≦ a + b + c ≦ 3
f(x) = (|x - a| + |x - b| + |x - c|) / 3

(1) 最小值出現在 x = b
f(b) = (c - a) / 3 ≦ c / 3 ≦ 1/3 < 1/2

(2) 最大值出現在 x = 0 或 x = 1
f(0) = (a + b + c) / 3
f(1) = 1 - [(a + b + c) / 3]
f(0) 和 f(1) 中,至少有一個 ≧ 1/2

故可以在 [0,1] 上找到 x_0,使 f(x_0) = 1/2


計算第 4 題
參考 pgcci7339 老師的妙解
https://math.pro/db/viewthread.php?tid= ... 1#pid19696

LATEX
文章: 366
註冊時間: 2013年 7月 21日, 23:35

請問填充9

文章 LATEX » 2019年 4月 29日, 11:05

請問填充9

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thepiano
文章: 4829
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Re: 108 台中二中

文章 thepiano » 2019年 4月 29日, 16:12

第 9 題
提示 (x^2 +y^2)[t^2 + (-z)^2] = (xt - yz)^2

LATEX
文章: 366
註冊時間: 2013年 7月 21日, 23:35

Re: 108 台中二中

文章 LATEX » 2019年 4月 29日, 19:20

請問填5
最後由 LATEX 於 2019年 4月 29日, 19:38 編輯,總共編輯了 1 次。

huanghs
文章: 38
註冊時間: 2018年 5月 9日, 14:40

Re: 108 台中二中

文章 huanghs » 2019年 4月 29日, 19:35

LATEX 寫:
2019年 4月 29日, 19:20
請問計算1
鋼琴老師 上面就有寫囉!!

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