美夢成真教甄討論區

想請教4,5題，感謝。

第 5 題
原題即證明 √a + √b + √c ≧ √(a + b - c) + √(b + c - a) + √(c + a - b)
令 p = a + b - c，q = b + c - a，r = c + a - b
證明：√[(p + r)/2] + √[(p + q)/2] + √[(q + r)/2] ≧ √p + √q + √r
上式易用"琴生(jensen)不等式"證出

可以請問第3、7、8題嗎？！

Doraemon 寫:可以請問第3、7、8題嗎？！

3
令f(theta)=theta-tan(theta)
微分得f'(theta)<0 for 0<theta<pi/2
知f(theta)為嚴格遞減函數
即若x<y,f(x)>f(y)
7
http://forum.nta.org.tw/examservice/sho ... hp?t=42580
強推皮大的作法!
8
http://forum.nta.org.tw/examservice/sho ... hp?t=26666
chuchu大的作法,遞迴解

第 4 題
等號左邊乘以 cos9 / cos9 後，用三倍角公式化成 cos81 / cos9 = sin9 / cos9 = tan 9

第5題可用柯西不等式解之,如附檔
感謝八神庵的糾正,已修改!

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 67#p451720
裡面有用到二次平均大於算術平均的方法
目前已有jensen,柯西與算幾三種方法了.....

八神庵 寫:

Doraemon 寫:可以請問第3、7、8題嗎？！

3
令f(theta)=theta-tan(theta)
微分得f'(theta)<0 for 0<theta<pi/2
知f(theta)為嚴格遞減函數
即若x<y,f(x)>f(y)
7
http://forum.nta.org.tw/examservice/sho ... hp?t=42580
強推皮大的作法!
8
http://forum.nta.org.tw/examservice/sho ... hp?t=26666
chuchu大的作法,遞迴解

非常感謝！！！！

由 八神庵 發表於 2010年 6月 24日, 00:15

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 67#p451720
裡面有用到二次平均大於算術平均的方法
目前已有jensen,柯西與算幾三種方法了.....



請問八神老師您所說的 "算幾" 是指 二次平均大於算術平均 嗎? 如果是的話，那不是jensen 的結果嗎?

可否請老師說明。 感激不盡^^

addcinabo 寫:由 八神庵 發表於 2010年 6月 24日, 00:15

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 67#p451720
裡面有用到二次平均大於算術平均的方法
目前已有jensen,柯西與算幾三種方法了.....



請問八神老師您所說的 "算幾" 是指 二次平均大於算術平均 嗎? 如果是的話，那不是jensen 的結果嗎?

可否請老師說明。 感激不盡^^

二次平均大於算數平均
是廣義的算幾不等式
MAX>=二次平均>=A.P.>=G.P.>=H.P.>=min