求多項式(99雄中,家齊)

版主: thepiano

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M9331707
文章: 101
註冊時間: 2009年 1月 24日, 18:31

求多項式(99雄中,家齊)

文章 M9331707 »

設多項式 f(x)領導係數為1,且滿足xf(x)=(x-4)f(x),試求多項式f(x) 。
Ans:x^4-6x^3+11x^2-6x
最後由 M9331707 於 2010年 6月 16日, 11:20 編輯,總共編輯了 1 次。

八神庵
文章: 200
註冊時間: 2010年 4月 16日, 17:29

Re: 求多項式(雄中,家齊)

文章 八神庵 »

這個跟99中二中其中一個考題很像
你用x=0,1,2,3,4代入會得到f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0
依照它的遞迴關係xf(x-1)=(x-4)f(x)
可以得知f(x)除了x=0,1,2,3為0以外其它任何點均不為0
又領導係數為1
故f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)

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thepiano
文章: 5094
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 求多項式(雄中,家齊)

文章 thepiano »

xf(x - 1) = (x - 4)f(x) ...... (1)

x = 0,f(0) = 0
x = 4,f(3) = 0

即 f(x) 可被 x(x - 3) = x^2 - 3x 整除

令 f(x) = (x^2 - 3x)q(x),代入 (1) 式
(x - 4)(x^2 - 3x)q(x) = x[(x - 1)^2 - 3(x - 1)]q(x - 1)
(x - 3)q(x) = (x - 1)q(x - 1)

上述步驟再玩一次,再加上 f(x) 之領導係數為 1,可得 q(x) = (x - 1)(x - 2)

f(x) = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)

happier
文章: 103
註冊時間: 2010年 1月 5日, 23:28

Re: 求多項式(雄中,家齊)

文章 happier »

大家怎麼判斷最高是4次呢?

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