美夢成真教甄討論區

有一數列<a(n)>滿足a(1)=1, a(n+1)>a(n), 且[a(n+1)]^2+[a(n)]^2+1=2(a(n+1)a(n)+a(n+1)+a(n)),
S(n)為前n項和，求lim(S(n))/na(n) (其中n趨近到無窮)

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想請問如件的題目,謝謝

第 1 題
(1)
第 1 次抽出 5，第 2 次抽出 1 ~ 4，第 3 次抽出 5
第 1 次抽出 4，第 2 次抽出 1 ~ 3，第 3 次抽出 4 ~ 5
第 1 次抽出 3，第 2 次抽出 1 ~ 2，第 3 次抽出 3 ~ 5
第 1 次抽出 2，第 2 次抽出 1，第 3 次抽出 2 ~ 5
所求 = (4 + 6 + 6 + 4) / 5^3

(2)
設 f(n) 為恰在第 n 次操作後停止的情形數，n ≧ 2
f(2) = 3
f(3) = 2 * 3
f(4) = 2 * 2 * 3
......
f(n) = 2^(n - 2) * 3
所求 = [2^(n - 2) * 3] / 5^n


第 2 題
24^2 = 2^6 * 3^2
要分解成 5 個"相異"偶數的乘積，每一個偶數的分解最少都要有 1 個 2
所以必有 1 個偶數的分解含有 2 個 2，4 個偶數的分解含有 1 個 2
再加上這 5 個"相異"偶數只能有 0 個或 2 個或 4 個負數
唯一可能是 24^2 = 2 * 4 * 6 * (-2) * (-6)
......

答案是 1


第 3 題
f'(x) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a)
f'(a) = (a - b)(a - c)
f'(b) = (b - c)(b - a)
f'(c) = (c - a)(c - b)
代入求值式後通分化簡，可得答案為 1


第 4 題
過 (1，2) 之直線為 y = m(x - 1) + 2
m(x - 1) + 2 = 1/x
m^2 - (m - 2)x - 1 = 0

令 P(a，m(a - 1) + 2)，Q(b，m(b - 1) + 2)
a + b = (m - 2) / m
ab = -1/m
(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 1 + (4/m^2)

PQ = √[(m^2 + 1)(a - b)^2] = √[m^2 + (4/m^2) + 5] ≧ 3

第5題
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