美夢成真教甄討論區

第 7 題
參考 https://math.pro/db/thread-3940-1-2.html

第 8 題
a + b + (c - 3) = 111
abc - 3ab = ab(c - 3)
再用算幾不等式

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計算第 1 題
2(a^2 + b^2) ≧ (a + b)^2 > a + b (∵ a + b ≧ 3)

|a - 2b^2| + |b - 2a^2|
≧ |(a + b) - 2(a^2 + b^2)|
= 2(a^2 + b^2) - (a + b)
≧ (a + b)^2 - (a +b)
= (a + b)(a + b - 1)
≧ 3 * 2
= 6

第 5 題
先考慮半徑為 1 的球 O，內切於正四面體 D-ABC
易知 D-ABC 的高為 4，邊長為 2√6

球心 O 在 △ABC 上的投影點是其重心 G
作 GM 垂直 AB 於 M
則 GM = √2，AM = BM = √6

當正四面體 D-ABC 擴大為邊長 6√6 時，球心的投影點與正四面體的邊保持最小距離 √2
而投影點的運動軌跡是 △ABC 內一個邊長 6√6 - √6 * 2 = 4√6 的正三角形

由於有四個面
所求 = (√3/4)[(6√6)^2 - (4√6)^2] * 4 = 120√3

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第 9 題
y^2 = 8x
焦點 F(2，0)，準線 x = -2

FA = 4，易知 A(2，4)
FB = 10，易知 B(8，-8)
AB = 6√5，直線 AB：y = -2x + 8

當 △APB 面積最大時，P 為直線 y = -2x - 1 與 y^2 = 8x 之切點
易知 P(1/2，-2)

P 到直線 AB 之距離 = 9/√5
△APB = 27

第 7 題
(α + 2)^3 + 2(α + 2) - 1 = 0
(β + 2)^3 + 2(β + 2) + 1 = 0

α + 2 = a，β + 2 = b

a^3 + b^3 + 2(a + b) = 0
(a + b)(a^2 - ab + b^2 + 2) = 0
(a + b)[(a - b/2)^2 + (3/4)b^2 + 2)] = 0
a + b = 0

α + β = -4

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第 4 題 由分點公式 P = (2/3)A + (1/3)C = (5/6)B + (1/6)D 2/3 + (1/3)z^2 = (5/6)z + (1/6)z^3 z^3 - 2z^2 + 5z - 4 = 0 (z - 1)(z^2 - z + 4) = 0 z = 1 (不合) or (1 + √15i)/2 or (1 - √15i)/2 (不合) 第 15 題 過左上角黑點的捷徑有 [5!/(2!3!)] * [5!/(4!1!)] = 50 條 過右下角黑點的捷徑也有 50 條 過左下角黑點的捷徑有 [3!/(2!1!)] * [7!/(4!3!)] = 105 條 過右上角黑...