美夢成真教甄討論區

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填充第 6 題
四根 p、q、r、s
pqrs = 1，|p||q||r||s| = 1，由於四根都在單位圓內或圓上
故 |p| = |q| = |r| = |s| = 1

令 x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1 = (x^2 - 2(cosα)x + 1)(x^2 - 2(cosβ)x + 1)
a = c = -2(cosα + cosβ)
b = 4cosαcosβ + 2

a^2 + c^2 - 8b = 8(cosα - cosβ)^2 - 16
當 cosα = 1，cosβ = -1 時，有最大值 16

第 4 題
題目有誤

等號左邊的長度最小值是 120，等號右邊的長度最大值小於 10，不可能相等

看來要修正第三次了

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第 2 題 a_2027 ~ a_3027 這 1001 項的和 = 1025 - 3027 = -2002 中間項 = a_2527 = -2002 / 1001 = -2 a_1 ~ a_5053 這 5053 項的中間項也是 a_2527 S_5053 = (-2) * 5053 = -10106 第 3 題 設兩根為 m、n，其中 m ≦ n m + n = - (-3/8) / a = 3 / (8a) mn = 1 / a a = 3 / [8(m +ｎ)] = 1 / (mn) 3mn - 8m - 8n = 0 9mn - 24m - 24n = 0 (3m - 8)(3n -...

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第 O 題 請自行畫圖 △DAC 和 △DBA 相似 (AA 相似) DA / DB = AC / BA = 3 / 4 令 DA = 3x，DB = 4x，DC = 4x - 7 (3x)^2 = 4x(4x - 7) x = 4 DC = 9 設直線 AE 和 BD 交於 F FC * FB = FE * FA = FD^2 令 FC = y y(y + 7) = (9 - y)^2 y = 81/25 FC = 81/25，FB = 256/25 A、B、C、E 四點共圓 △FBE 和 △FAC 相似 (AA 相似) EB / CA = FB / FA △FEC 和 △FBA 相似 (A...

第 15 題
n(a_n - 1) = (n - 1)(a_(n-1) + 1)
na_n = (n - 1)a_(n-1) + (2n - 1)

2a_2 = a_1 + 3
3a_3 = 2a_2 + 5
:
:
na_n = (n - 1)a_(n-1) + (2n - 1)

na_n = 2 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n^2 + 1
a_n = n + (1/n)

剩下的就簡單了

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計算第 1 題
AB = c，BC = a，CA = b
在射線 CA 上取一點 D，使 AD = AP

由 Stewart 定理
PA * BC^2 + PB * CA^2 = AB * (CP^2 + PA * PB)
(3c/4) * [b + (c/2)]^2 + (c/4) * b^2 = c * [CP^2 + (3c/4) * (c/4)]
CP^2 = b * [b + (3c/4)] = CA * CD
CP / CD = CA / CP
△APC 和 △PDC 相似 (SAS)
∠CAP = 2∠CDP = 2∠CPA