美夢成真教甄討論區

第 4 題
畫樹狀圖，要注意每條路徑的機率不盡相同（有兩種不同的機率）

第 7 題
S_n + S_(n+1) = 2a_(n+1)
S_n + S_n + a_(n+1) = 2a_(n+1)
a_(n+1) = 2S_n
......

第 8 題
分成以下幾種情形討論
四同
三同一異
二同二同
二同二異
四異

這算基本題
先利用共線，把向量 AP 寫成向量 AB 和向量 AC 的線性組合
再令向量 AF = t * 向量 AP
就可把向量 AF 寫成向量 AB 和向量 AC 的線性組合
再利用共線，然後就有 BF / CF

第 14 題
設直線 AP 和 BC 交於 F
利用向量的線性組合和共線性質，可求出 BF / CF = 1 / 6
再利用畢氏定理可求出 BC
剩下的用餘弦定理就可以了

第 17 題 即 x^2 + kx + k = x + 1 無實數解 x^2 + (k - 1)x + (k - 1) = 0 用判別式 ...... 第 21 題 由餘弦定理 cos∠BAD = (1^2 + 4^2 - BD^2) / (2 * 1 * 4) cos∠BCD = (2^2 + 3^2 - BD^2) / (2 * 2 * 3) 由於 ABCD 是圓內接四邊形，對角互補 故 cos∠BAD + cos∠BCD = 0 (1^2 + 4^2 - BD^2) / (2 * 1 * 4) + (2^2 + 3^2 - BD^2) / (2 * 2 * 3) = 0 ...... 第...

第 50 題
頂點：看黑色正方形，有 6 個黑色正方形，有 4 * 6 / 2 = 12 個頂點
除以 2 是因為每個頂點都被算了兩次

邊：看黑色正方形，有 6 個黑色正方形，有 4 * 6 = 24 個邊

面：有 6 個黑色正方形和 8 個灰色正三角形，有 6 + 8 = 14 個面


第 51 題
每一列的最右邊都是完全平方數
最接近 1000 且不超過 1000 的完全平方數是 31^2 = 961
所以 1000 填在第 32 列的第 1000 - 961 = 39 個

請參考附件

第 49 題
90 的因數，把 45 打成 20

ADFC = ADEB = 10 * 2 = 20
DGCF = ADFC - △ADG = 17

第 4 題 (1) 令切點為 (t，0) f(x) = a(x - t)^2 f(p) = a(p - t)^2 = m^2 f(q) = a(q - t)^2 = n^2 相除 (p - t)^2 / (q - t)^2 = (m / n)^2 (p - t) / (q - t) = m / n 或 -m / n t = (mq - np) / (m - n) 或 (mq + np) / (m + n)，其中 m ≠ n 若 m = n，則 t = 0 (2) a 的最小值應該取不到 第 5 題 (√a - √b)^3 = a√a - 3a√b + 3b√a - b√b = (a + 3b)...

作 AE 垂直直線 DC 於 E，作 BF 垂直直線 DC 於 F
AE = x，ED = y，DF = 8 - y，FC = y + 9
x^2 + y^2 = 10^2
x^2 + (y + 9)^2 = 17^2
解出 y 和 x，剩下的就簡單了

填充第 9 題
向量 a (1，0，0)、向量 b (1/2，√3/2，0)
向量 c = 向量 a x 向量 b = (0，0，√3/2)
向量 p (x，y，z)

cosθ
= (向量 a․向量 p) / |向量 a| * |向量 p|
= (向量 b․向量 p) / |向量 b| * |向量 p|
= (向量 c․向量 p) / |向量 c| * |向量 p|

x = (1/2)x + (√3/2)y = z
x = √3y = z
cosθ = x / √(x^2 + y^2 + z^2) = √3 / √7

cos2θ = -1/7