101 台中一中

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thepiano
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101 台中一中

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第 15 題
題目又進化了

420 = 2^2 * 3 * 5 * 7
將 5 件不盡相異的物品 2、2、5、7、11 丟入 a、b、c 這 3 個相同的箱子內

(5,0,0):1 種
(4,1,0):4 種
(3,2,0):7 種
(3,1,1):7 種
(2,2,1):9 種

所求 = 28 種

===============================================================

另解 [(3^5 - 3) - (3^4 - 3)] / 3! + 1 = 27 + 1 = 28
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milkie1013
文章: 11
註冊時間: 2010年 5月 7日, 20:24

Re: 101 台中一中

文章 milkie1013 »

老師您好
想請教一下
為什麼 (5,0,0)這組不需扣掉呢
這樣代表的是{ 420,1,1}
寫成集合{a,b,c}不是應該三個元素相異?

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thepiano
文章: 5156
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 101 台中一中

文章 thepiano »

這是會有爭議的地方

出題老師最好要說一下這三數有沒有相異

icebar
文章: 17
註冊時間: 2012年 5月 17日, 18:00

Re: 101 台中一中

文章 icebar »

thepiano 寫:請參考附件

第 15 題
題目又進化了

420 = 2^2 * 3 * 5 * 7
將 5 件不盡相異的物品 2、2、5、7、11 丟入 a、b、c 這 3 個相同的箱子內

(5,0,0):1 種
(4,1,0):4 種
(3,2,0):7 種
(3,1,1):7 種
(2,2,1):9 種

所求 = 28 種

===============================================================

另解 [(3^5 - 3) - (3^4 - 3)] / 3! + 1 = 27 + 1 = 28
另解看不懂,可請thepiano大大解說一下嗎?謝謝。

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thepiano
文章: 5156
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 101 台中一中

文章 thepiano »

先把三個箱子視為相異,二個 2 也視為相異
3^5 - 3 表示 5 件相異物品丟入 3 個相異箱子且最多只有 1 個空箱子的方法數

再來若 2、5、7、11 這四個先丟,有 (3^4 - 3) 方法
假設這四個丟完後是 a:{2},b:{5、7},c:{11}
(1) 第二個 2 丟入 a → 跟 a:{2},b:{5、7},c:{11} 和 第二個 2 丟入 a 相同
(2) 第二個 2 丟入 b → 跟 a:{},b:{2、5、7},c:{11} 和 第二個 2 丟入 a 相同
(3) 第二個 2 丟入 c → 跟 a:{},b:{5、7},c:{2、11} 和 第二個 2 丟入 a 相同
即把第二個 2 丟入任一個箱子都會重覆,所以要扣掉

除以 3! 是因為三個箱子本是相同的

最後加的 1 是指 {1,1,420},不過,小弟覺得不應該算進去,這題答案若寫 27 而被打ㄨ算蠻冤的

其實這個寫法只是式子簡潔罷了,沒啥特殊之處 :grin:

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