108 松山工農

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108 松山工農

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thepiano
文章: 5006
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Re: 108 松山工農

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第 2 題
答案更正為 -7

第 5 題
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thepiano
文章: 5006
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 108 松山工農

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第 16 題
O(0,0,0)、A(0,0,6)、B(0,0,20)、P(x,y,0)

令 OP = r
tan∠APB = (20/r - 6/r) / [1 + (20/r)(6/r)] ≧ 1 / √3
4√3 ≦ r ≦ 10√3

又 0 ≦ x ≦ 15,0 ≦ y ≦ 15

OM = OK = 15,OD = OE = 10√3,OF = OG = 4√3
DM = EK = 5√3
∠DOM = ∠DOE =∠EOK = 30 度

所求為黃色部份的面積 = 75√3 + 13π
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thepiano
文章: 5006
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 108 松山工農

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第 10 題
三角形的三頂點為 O(0,0),A(n^2,0),B(0,n)

OA 邊上有 (n^2 - 1) 個格子點,不含 O 和 A
OB 邊上有 (n - 1) 個格子點,不含 O 和 B
gcd(n^2,n) = n,AB 邊上有 (n - 1) 個格子點,不含 A 和 B
故三邊上有 (n^2 - 1) + (n - 1) + (n - 1) + 3 = (n^2 + 2n) 個格子點

內部有 [(n^2 - 1)(n - 1) - (n - 1)] / 2 = (n^3 - n^2 - 2n + 2) / 2 個格子點
長方形內部扣掉對角線上的再砍一半

所求 = (n^2 + 2n) + [(n^3 - n^2 - 2n + 2) / 2] = (n^3 + n^2 + 2n + 2) / 2 個格子點

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文章: 406
註冊時間: 2013年 7月 21日, 23:35

Re: 108 松山工農(謝謝老師)

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請問填充3, 謝謝
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thepiano
文章: 5006
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 108 松山工農

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第 3 題
先求出 cos角FAD 和 DF^2
利用 CE^2 = DF^2. 可求出 cos角EAC
剩下就簡單了

LATEX
文章: 406
註冊時間: 2013年 7月 21日, 23:35

Re: 108 松山工農

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CE^2 = CF^2 是為何?

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thepiano
文章: 5006
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 108 松山工農

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打錯了,應是 CE^2 = DF^2

koeagle
文章: 1
註冊時間: 2019年 4月 28日, 14:41

Re: 108 松山工農

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坐標化:A(0,0,0)、B(5,0,0)、D(0,y_1,z_1)、F(0,y_2,z_2)、C(5,y_1,z_1)、E(5,y_2,z_2)
所求=25+11=36

LATEX
文章: 406
註冊時間: 2013年 7月 21日, 23:35

Re: 108 松山工農(謝謝老師)

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填10
內部有 [(n^2 - 1)(n - 1) - (n - 1)] / 2 = (n^3 - n^2 - 2n + 2) / 2 個格子點
長方形內部扣掉對角線上的再砍一半
是為何?
最後由 LATEX 於 2020年 2月 26日, 17:46 編輯,總共編輯了 1 次。

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