114 永春高中

[thepiano]

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填充第 3 題
a = √(x^2 + x +1)，b = √(2x^2 + x + 5)，c = √(x^2 - 3x + 13)

易知
-7(x^2 + x +1) + 4(2x^2 + x + 5) = x^2 - 3x + 13

a + b = c
-7a^2 + 4b^2 = c^2

-7a^2 + 4b^2 = (a + b)^2
8a^2 + 2ab - 3b^2 = 0
(2a - b)(4a + 3b) = 0
4a + 3b > 0，b = 2a

√(2x^2 + x + 5) = 2√(x^2 + x +1)
2x^2 + 3x - 1 = 0
x = (-3 ± √17)/4

官方答案給錯了

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填充第 9 題
a_n = (1/2)(√(n + 2) - √n)/[(√(n + 1) + √n)(√(n + 2) + √(n + 1)]

= (1/2)[(√(n + 2) + √(n + 1)) - (√(n + 1) + √n)]/[(√(n + 1) + √n)(√(n + 2) + √(n + 1))]

= (1/2)[1/(√(n + 1) + √n) - 1/(√(n + 2) + √(n + 1))

= (1/2)(√(n + 1) - √n - √(n + 2) + √(n + 1))

再相消就有答案了

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第 7 題
在直線 BC 異於 A 的一側，取 BQ = 6 且 ∠PBQ = ∠ABC
△PBQ 和 △ABC 相似，PQ = 5
cos∠BQP = 3/4，sin∠BQP = √7/4

△BQC 和 △BPA 相似，QC = 12，∠CQP = 90度

cos∠APB = cos∠CQB = cos(∠CQP + ∠BQP) = -sin∠BQP = -√7/4