111 新竹女中
版主: thepiano
Re: 111 新竹女中
計算第 3 題
那個唯一的銳角三角形,是圖中黃色三角形
分左圖和右圖兩種情形討論
左圖的綠色五邊形有 5 種分成 3 個鈍角三角形的方法
右圖的紅色四邊形有 2 種分成 2 個鈍角三角形的方法
故左圖有 5 * 5 * 1 = 25 種分法,右圖有 2 * 2 * 5 = 20 種分法
由於每圖都可旋轉出 10 種,故所求 = (25 + 20) * 10 = 450 種分法
那個唯一的銳角三角形,是圖中黃色三角形
分左圖和右圖兩種情形討論
左圖的綠色五邊形有 5 種分成 3 個鈍角三角形的方法
右圖的紅色四邊形有 2 種分成 2 個鈍角三角形的方法
故左圖有 5 * 5 * 1 = 25 種分法,右圖有 2 * 2 * 5 = 20 種分法
由於每圖都可旋轉出 10 種,故所求 = (25 + 20) * 10 = 450 種分法
- 附加檔案
-
- 20220421.jpg (27.96 KiB) 已瀏覽 7825 次
Re: 111 新竹女中
第 3 題
參考這篇文章 http://shs.edu.tw/works/essay/2019/10/2 ... 261859.pdf
先算巴斯卡三角形第 2022 列的這 2023 個數字中有幾個不為 3 的倍數
2022 化成三進位是 2202220
故有 3^5 = 243 個數不為 3 的倍數
所求 = 2023 - 243 = 1780
參考這篇文章 http://shs.edu.tw/works/essay/2019/10/2 ... 261859.pdf
先算巴斯卡三角形第 2022 列的這 2023 個數字中有幾個不為 3 的倍數
2022 化成三進位是 2202220
故有 3^5 = 243 個數不為 3 的倍數
所求 = 2023 - 243 = 1780
Re: 111 新竹女中
第 10 題
參考 satsuki931000 老師的做法
https://math.pro/db/viewthread.php?tid= ... 1#pid23905
第 11 題
y^2 = x 代入 (x - 4)^2 + y^2 = r^2
整理可得 x^2 - 7x + 16 - r^2 = 0
令 P(a,√a)、Q(a,- √a)、R(b,- √b)、S(b,√b),其中 0 < a < b
a + b = 7,ab = 16 - r^2
(1) 由 r > 0,16 - r^2 > 0 及 (-7)^2 - 4(16 - r^2) > 0
可得 √15 / 2 < r < 4
(2) PQRS = (1/2)(2√a + 2√b)(b - a) = (√a + √b)(b - a)
PQRS^2 = [a + b + 2√(ab)][(a + b)^2 - 4ab] = [7 + 2√(16 - r^2)][49 - 4(16 - r^2)] = [7 + 2√(16 - r^2)](4r^2 - 15)
令 t = √(16 - r^2),r^2 = 16 - t^2
PQRS^2 = (7 + 2t)(49 - 4t^2) = (7 + 2t)^2 * (7 - 2t) = (1/2)(7 + 2t)(7 + 2t)(14 - 4t) ≦ (1/2){[(7 + 2t) + (7 + 2t) + (14 - 4t)] / 3}^3 = (1/2)(28/3)^3
等號成立於 7 + 2t = 14 - 4t,即 t = 7/6 時
設 PR 和 QS 的交點 M(m,0)
m = a + (b - a) * [√a / (√a + √b)] = a + (√b - √a)√a = √(ab) = t = 7/6
參考 satsuki931000 老師的做法
https://math.pro/db/viewthread.php?tid= ... 1#pid23905
第 11 題
y^2 = x 代入 (x - 4)^2 + y^2 = r^2
整理可得 x^2 - 7x + 16 - r^2 = 0
令 P(a,√a)、Q(a,- √a)、R(b,- √b)、S(b,√b),其中 0 < a < b
a + b = 7,ab = 16 - r^2
(1) 由 r > 0,16 - r^2 > 0 及 (-7)^2 - 4(16 - r^2) > 0
可得 √15 / 2 < r < 4
(2) PQRS = (1/2)(2√a + 2√b)(b - a) = (√a + √b)(b - a)
PQRS^2 = [a + b + 2√(ab)][(a + b)^2 - 4ab] = [7 + 2√(16 - r^2)][49 - 4(16 - r^2)] = [7 + 2√(16 - r^2)](4r^2 - 15)
令 t = √(16 - r^2),r^2 = 16 - t^2
PQRS^2 = (7 + 2t)(49 - 4t^2) = (7 + 2t)^2 * (7 - 2t) = (1/2)(7 + 2t)(7 + 2t)(14 - 4t) ≦ (1/2){[(7 + 2t) + (7 + 2t) + (14 - 4t)] / 3}^3 = (1/2)(28/3)^3
等號成立於 7 + 2t = 14 - 4t,即 t = 7/6 時
設 PR 和 QS 的交點 M(m,0)
m = a + (b - a) * [√a / (√a + √b)] = a + (√b - √a)√a = √(ab) = t = 7/6