103 全國聯招

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thepiano
文章: 5006
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

103 全國聯招

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計算第 2 題
m 應為實數
f(x) = x^2 - 2mx + 2m + 3 之頂點坐標為 (m,-m^2 + 2m + 3)

(1) m < 0,則 f(0) > 0
-3/2 < m < 0

(2) m > 4,則 f(4) > 0
無解

(3) 0 ≦ m ≦ 4,則 f(m) > 0
0 ≦ m < 3

故所求為 -3/2 < m < 3

計算第 3 題
n^2 + 103n = n(n + 103)

n ≡ 0 (mod 10),n + 103 ≡ 3 (mod 10),n(n + 103) ≡ 0 (mod 10)
n ≡ 1 (mod 10),n + 103 ≡ 4 (mod 10),n(n + 103) ≡ 4 (mod 10)
n ≡ 2 (mod 10),n + 103 ≡ 5 (mod 10),n(n + 103) ≡ 0 (mod 10)
n ≡ 3 (mod 10),n + 103 ≡ 6 (mod 10),n(n + 103) ≡ 8 (mod 10)
n ≡ 4 (mod 10),n + 103 ≡ 7 (mod 10),n(n + 103) ≡ 8 (mod 10)
n ≡ 5 (mod 10),n + 103 ≡ 8 (mod 10),n(n + 103) ≡ 0 (mod 10)
n ≡ 6 (mod 10),n + 103 ≡ 9 (mod 10),n(n + 103) ≡ 4 (mod 10)
n ≡ 7 (mod 10),n + 103 ≡ 0 (mod 10),n(n + 103) ≡ 0 (mod 10)
n ≡ 8 (mod 10),n + 103 ≡ 1 (mod 10),n(n + 103) ≡ 8 (mod 10)
n ≡ 9 (mod 10),n + 103 ≡ 2 (mod 10),n(n + 103) ≡ 8 (mod 10)

n^2 + 103n + 2014 ≡ 4 or 8 or 2 (mod 10) 非 2000 之倍數,得證
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thepiano
文章: 5006
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 103 全國聯招

文章 thepiano »

請看 Ellipse 和 hua0127 兩位老師的妙解
http://math.pro/db/thread-1912-1-1.html

LATEX
文章: 406
註冊時間: 2013年 7月 21日, 23:35

Re: 103 全國聯招

文章 LATEX »

請問老師:
單選2的解答為什麼是
所求:首項=(1/2)*(2²-1²)=3/2,公比=1/16的無窮等比級數和
即(3/2) / [1-(1/16)] =8/5

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thepiano
文章: 5006
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 103 全國聯招

文章 thepiano »

下圖只畫到 (|x| + |y| - 1)(|x| + |y| - 1/2)(|x| + |y| - 1/4)(|x| + |y| - 1/8) ≦ 0

首項 = 最外圈"回"字的面積
公比 = 外一圈"回"字的面積/往內一圈"回"字的面積
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LATEX
文章: 406
註冊時間: 2013年 7月 21日, 23:35

Re: 103 全國聯招

文章 LATEX »

我有劃出這個圖阿 但是我不理解算式?

1/2 是指?

2^2-1^2 是指? (最外層邊長不是 根號2, 面積是 2 ? )

且萬一如同你舉的四個算式 不就要討論
- + + +
++-+
公比 = 外一圈"回"字的面積/往內一圈"回"字的面積 (為什麼?)


等等 ,且萬一有奇數個項相乘,等等, 很複雜,不好意思 因為理解力有點差

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thepiano
文章: 5006
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 103 全國聯招

文章 thepiano »

最外面的正方形,對角線長是 2,面積 = (1/2) * 2^2
第 2 大的正方形,對角線長是 1,面積 = (1/2) * 1^2
最外圈的回字面積 = (1/2) * 2^2 - (1/2) * 1^2 = (1/2)(2^2 - 1^2) = 3/2
往內一圈回字面積 = (1/2) * (1/2)^2 - (1/2) * (1/4)^2 = 3/32
公比 = (3/32)/(3/2) = 1/16

另外
x > 1,該不等式左邊必大於 0,不等式不會成立
故以下範圍,不等式才會成立
1/2 ≦ x ≦ 1
1/8 ≦ x ≦ 1/4
1/32 ≦ x ≦ 1/16
:
:

LATEX
文章: 406
註冊時間: 2013年 7月 21日, 23:35

Re: 103 全國聯招

文章 LATEX »

感謝 thepiano 老師用教小學生的方式耐心的說明。

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