103台中女中

版主: thepiano

johncai
文章: 44
註冊時間: 2010年 6月 24日, 00:33

103台中女中

文章 johncai »

先問一題計算第一題
直線L過P(2,1)與拋物線y=-x^2+2x+2所圍最小面積?
謝謝
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thepiano
文章: 5160
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 103台中女中

文章 thepiano »

這是 ellipse 兄的專長,等他來解答
先提供一下參考答案 4/3

ellipse
文章: 374
註冊時間: 2010年 5月 22日, 14:09

Re: 103台中女中

文章 ellipse »

thepiano 寫:這是 ellipse 兄的專長,等他來解答
先提供一下參考答案 4/3
鋼琴兄太抬舉我了~
方法不只一種,提供一個速算法:
T:y=-(x-1)^2+3 ,將T平移至頂點為(0,0),可得
T' :y=-x^2,則P(2,1)變成P'(1,-2)
所求通過P'的直線斜率m可用下列方式找到:
過P'對x軸做垂直線,假設交T'於Q點
則過Q點對T'所做的切線斜率與所求的m相同
m= dy/dx | x=1
=-2x | x=1
=-2
所求新的直線為(y+2 )/(x-1) =-2 可得y=-2x (舊直線為y=-2x+5)
與y=-x^2的交點坐標為(0,0) &(2,-4)
則所求最小面積為 ∫ {0 to 2 } -x^2 - (-2x) dx
=-(1/3)x^3 +2x | {x=0 to 2 }
=-8/3 +4 =4/3
最後由 ellipse 於 2014年 4月 26日, 18:08 編輯,總共編輯了 2 次。

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thepiano
文章: 5160
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 103台中女中

文章 thepiano »

第 15 題
設 f(n) 表示長度為 n 的字串中,含有奇數個 a 的字串數
則長度為 n 的字串中,含有偶數個 a 的字串數是 3^n - f(n)
易知 f(1) = 1

(1) 第 n 個數字是 a,且含有奇數個 a 的字串數是 3^(n-1) - f(n-1)
(2) 第 n 個數字是 b 或 c,且含有奇數個 a 的字串數是 2f(n-1)

f(n) = 3^(n-1) - f(n-1) + 2f(n-1)
f(n) - f(n-1) = 3^(n-1)
f(n) = (3^n - 1)/2

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thepiano
文章: 5160
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 103台中女中

文章 thepiano »

第 16 題
原式 = √[(√2cosθ + 1)^2 + (sinθ)^2] + √[(√2cosθ - 2)^2 + (sinθ + 2)^2]
視為橢圓 (x/√2)^2 + y^2 = 1 上一點 A 到 F(-1,0) 和 B(2,-2) 的距離和
焦點 F(-1,0),F'(1,0)
最大值 = 2a + F'B = 2√2 + √5

johncai
文章: 44
註冊時間: 2010年 6月 24日, 00:33

Re: 103台中女中

文章 johncai »

請問一下填充11題有沒有什麼好方法?
暴不太下去@@

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thepiano
文章: 5160
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 103台中女中

文章 thepiano »

第 11 題
矩陣 T 如下:
3/4,-√3/4
√3/4,3/4

點 A 經 T 變換到點 B,即先逆時針旋轉 30 度,再將 A 與原點的距離縮為原來的 √3/2 倍
△OAB 為直角三角形,∠OBA 為直角

點 P 經 T 變換到點 Q,∠OQP = 90 度,所求即以 OP 為直徑之圓

Love ray
文章: 17
註冊時間: 2013年 7月 23日, 20:11

Re: 103台中女中

文章 Love ray »

請教一下13題,謝謝

ellipse
文章: 374
註冊時間: 2010年 5月 22日, 14:09

Re: 103台中女中

文章 ellipse »

Love ray 寫:請教一下13題,謝謝
提示:
ax-2ay+z=0, a(x-2y)+z=0
表示通過x-2y=0 與z=0 交線的平面族


今天早上有課,若不懂,晚點再po

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thepiano
文章: 5160
註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

Re: 103台中女中

文章 thepiano »

第 13 題
E 與 AB 交於 P(2/3,1/3,0)
E 與 BC 交於 Q(0,1/(2a+1),2a/(2a+1))

(1/2)△ABC = √3/4
△BPQ = (1/2) * BP * BQ * sin60度 = (1/2) * (2/3)√2 * [2√2a/(2a + 1)] * √3/2 = √3/4
可解出 a = 3/2

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