三角函數 (不等式)

[armopen]

設 A, B, C 為三角形的三內角, 證明

tan^2(A/2) + tan^2(B/2) + tan^2(C/2) ≧ 1.

[thepiano]

高中數學競賽教程 P163

[armopen]

查到了, 將解法分享如下：

考慮 tan(π/2 - C/2) = tan[(A+B)/2], 則 cot(C/2) = [tan(A/2) + tan(B/2)]/[1-tan(A/2)tan(B/2)]

設 x = tan(A/2), y = tan(B/2), z = tan(C/2), 上面結果可表示成 xy + xz + yz = 1.

又題目要證明 x^2 + y^2 + z^2 ≧ 1, 這只需證明 x^2 + y^2 + z^2 ≧ xy + xz + yz

這相當於 (x - y)^2 + (x - z)^2 + (y - z)^2 ≧ 0, 故得證.