101 復興高中一題

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thepiano
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註冊時間: 2008年 7月 29日, 10:12

101 復興高中一題

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是否存在三個正整數,其中任兩數的和除以第三數的餘數都是 1?
這題蠻有趣的

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(1) 三數相同,不可能

(2) 三數中有兩數相同
(i)
設三數為 a,a,a + b (a 和 b 為自然數,a 不為 1)
(a + a)/(a + b) = 1 餘 (a - b)
a - b = 1
b = a - 1
三數為 a,a,2a - 1
(a + 2a - 1)/a = 2 餘 (a - 1)
a - 1 = 1
a = 2
三數為 2,2,3

(ii)
設三數為 a - b,a,a (a、a - b 和 b 均為自然數,a - b 不為 1)
(a - b + a)/a = 1 餘 (a - b)
a - b = 1,不合


(3) 三數均相異
設三數為 a,a + n,a + m (a、n 和 m 為自然數,a 不為 1,m > n)
(a + a + n)/(a + m) = 1 餘 (a + n - m)
a + n - m = 1
m = a + n - 1

三數為 a,a + n,2a + n - 1
(a + 2a + n - 1)/(a + n) = 2 餘 (a - n - 1)
a - n - 1 = 1
n = a - 2
三數為 a,2a - 2,3a - 3
(2a - 2 + 3a - 3)/a = 3 餘 (2a - 5)
2a - 5 = 1
a = 3
三數為 3,4,6
(2a - 2 + 3a - 3)/a = 4 餘 (a - 5)
a - 5 = 1
a = 6
三數為 6,10,15

故三數為 2,2,3 或 3,4,6 或 6,10,15

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