100 高雄高商代理一題

[thepiano]

n * 2^(n - 1) + 1 為完全平方數，其中 n 為正整數，求 n

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易知 n ≦ 5 時，只有 n = 5 合乎所求

n ≧ 6 時
令 n * 2^(n - 1) + 1 = m^2
n * 2^(n - 1) = (m - 1)(m + 1)
其中 m - 1 和 m + 1 均為偶數
再令 m - 1 = 2k，m + 1 = 2(k + 1)

n * 2^(n - 3) = k(k + 1)
易知 2^(n - 3) ＞ n + 1
故 n ≧ 6 時，沒有合乎所求的 n

[successv]

不好意思，請問最後
易知 2^(n - 3) ＞ n + 1
為何就可得知 n ≧ 6 時，沒有合乎所求的 n
謝謝...

[thepiano]

因為 k 和 k + 1 是一奇一偶
若把 2^(n - 3) 的其中一部份乘給前面的 n，這樣會變成 偶 * 偶，不合

又 n ≧ 6 時， 2^(n - 3) ＞ n，故 n = k，2^(n - 3) = k + 1 = n + 1
但 n ≧ 6 時，2^(n - 3) ＞ n + 1
......

[successv]

謝謝piano大的解說......