請教98年數學競賽試題8題

[hugo]

麻煩板上的高手能幫忙解決疑惑，謝謝。

[thepiano]

第 1 題
參考 http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/95(2 ... pdf/05.pdf 第 2 頁的作法


第 2 題
HHH = H * 111 = (H * 3) * 37
0 ～ 9 的數字中只有 9 * 3 個位是 7
故 27 * 37 = 999


第 4 題
(a + 2b - 3c)^2 ≦ [a^2 + b^2 + (ci)^2][1^2 + 2^2 + (-3/i)^2]


第 6 & 7 題
http://140.122.140.4/exam/hs/98/doc/98_ ... report.pdf
第 119 頁，第 121 頁


第 8 題
題目出錯了 ......

[ellipse]

麻煩板上的高手能幫忙解決疑惑，謝謝。

#3
令AD=CE=x,DE=y,BD=BE=k,則AB=2x+y
在三角形ABD中,
sin60度/sin100度 -sin100度/sin20度
=k/(2x+y) -(2x+y)/x (正弦定理)
=[kx-(2x+y)^2]/[(2x+y)x]-----------------(*)
又三角形ABD:三角形BDE
=(1/2)*(2x+y)*k*sin20度:(1/2)*k*k*sin20度=x:y
=>(2x+y):k=x:y
=> kx=(2x+y)y代入(*)
所求=[(2x+y)y-(2x+y)^2]/[(2x+y)x]=(2x+y)[y-(2x+y)]/[(2x+y)x]
=-2x/x=-2

[thepiano]

第 5 題
設 A(4，0)
碰到 B(8，3) 後，第 1 次反射

利用三角形相似，可得
碰到 C(4/3，8) 後，第 2 次反射
碰到 D(0，7) 後，第 3 次反射
碰到 E(8，1) 後，第 4 次反射
碰到 F(20/3，0) 後，第 5 次反射
碰到 G(0，5) 後，第 6 次反射
碰到 A'(4，4) 後，第 7 次反射
碰到 B'(8，5) 後，第 8 次反射

由於對稱，從 A' 到 B' 和從 A 到 B 類似，接下來的路徑跟上面類似

碰到 C' 後，第 9 次反射
碰到 D' 後，第 10 次反射
碰到 E' 後，第 11 次反射
碰到 F' 後，第 12 次反射
碰到 G' 後，第 13 次反射回到 A


這種問題用算的可以算得出來嗎？

[hugo]

謝謝各位老師的解答

[ellipse]

麻煩板上的高手能幫忙解決疑惑，謝謝。

第8題請參考
http://math.pro/db/thread-1073-1-1.html