95學年各校考題之ㄧ(5題)

[8y383249]

感謝鋼琴兄的解答,想請教的題目如附件,謝謝

[thepiano]

第 2 題
畫出 x^2 + y^2 = 1，y = x/√3，y = -x/√3
y = x/√3，y = -x/√3 把 x^2 + y^2 = 1 切割成 4 個扇形( 2 個等大，2 個等小)
所求即是 2 個等大扇形面積之和
......


第 3 題
a_n = 3n^2 - 3(n - 1)^2 = 6n - 3
a_2 + a_4 + ...... + a_(2n) = n[a_2 + a_(2n)] / 2 = 6n^2 + 3n
a_1 + a_3 + ...... + a_(2n-1) = n[a_1 + a_(2n-1)] / 2 = 6n^2 - 3n
......


第 4 題
t^3 - yt^2 - xt - 6 = 0 之三根為 a，b，c
abc = 6 = 1 * 2 * 3
......


剩下兩題，舊論壇應該都有，不過一個掛掉，一個無法用中文搜尋
請板上老師幫忙寫一下，小弟要開車去台北囉 ......

[ellipse]

#1 依題意知 Log(x^n)-Log(1/x^n) 為整數
=> Log(x^(2n))=2n*Log(x)為整數----------------(1)
又因為 1<=Log(x)<2 (Log(x)的首數=1)
所以2n<=2n*Log(x)<4n------------------(2)
由(1)&(2)得 2n*Log(x)=2n,2n+1,2n+2,..............,4n-1
Log(x)=1,(2n+1)/(2n),(2n+2)/(2n),.............,(4n-1)/(2n)
x=10^1,10^[(2n+1)/(2n)],10^[(2n+2)/(2n)],........,10^[(4n-1)/(2n)]
為等比數列,首項=10,公比=10^[1/(2n)]
所求=10{[10^(1/(2n)]^(2n)-1} / [10^(1/(2n))-1]
=90/ [10^(1/(2n))-1]

[8y383249]

[quote="thepiano"]第 2 題
畫出 x^2 + y^2 = 1，y = x/√3，y = -x/√3
y = x/√3，y = -x/√3 把 x^2 + y^2 = 1 切割成 4 個扇形( 2 個等大，2 個等小)
所求即是 2 個等大扇形面積之和
......

感謝鋼琴兄百忙中抽空解答,小弟十二萬分的感謝,這題小弟算出來是4pi/3,跟原答案不一樣,請問鋼琴兄的答案是多少?

另外,最後一題,可否請線上前輩解答,謝謝

[thepiano]

第 2 題
x^2 + y^2 ≦ 1 的面積是 π，所以答案不可能是 (4/3)π
這題答案是 (2/3)π



第 5 題
過橢圓最高點的切線必與地面線平行
旋轉橢圓，使其長軸落在 x 軸上，短軸落在 y 軸上，中心落在原點
其方程為 x^2/4 + y^2 = 1

此時兩條橢圓切線之斜率均為 -3/4，其方程為 y = (-3/4)x ± √(13/4)

所求為此兩切線之距離 = (4/5)√13