112 竹東高中

[thepiano]

請參考附件

[v20160801]

請問填4,6,8,9；謝謝。

[thepiano]

第 4 題
f(x) = a(x - 2)(x - b)，其中 a、b 為實數且 a 不為 0
f(f(x)) = a[a(x - 2)(x - b) - 2][(a(x - 2)(x - b) - b)]
= a^3[x^2 - (b + 2)x + (2b - 2/a)][x^2 - (b + 2)x + (2b - b/a)]

f(f(x)) = 0 恰只有一實根 5
檢驗以下兩種情形
(1) x^2 - (b + 2)x + (2b - 2/a) = (x - 5)^2 且 x^2 - (b + 2)x + (2b - b/a) 無實根
(2) x^2 - (b + 2)x + (2b - b/a) = (x - 5)^2 且 x^2 - (b + 2)x + (2b - 2/a) 無實根
就可求出 f(x) 和 f(0)


第 6 題
z_1 = a + bi，z_2 = c + di

|z_1| = |z_1 - z_2| = (1/√2)|z_2| = 1
a^2 + b^2 = 1
(a - c)^2 + (b - d)^2 = 1
c^2 + d^2 = 2
由上可得 ac + bd = 1
(a + c)^2 + (b + d)^2 = 5

|z_1 - 1|^2 + |z_2 - 1|^2
= (a - 1)^2 + b^2 + (c - 1)^2 + d^2
= 5 - 2(a + c)
......



第 8 題
(1) p = 3，f(x) = 6x + 7，符合
(2) p ≧ 4，f(x) 的圖形開口朝下，與 y 軸交於正向 y 軸，不合
(3) -4 ≦ p ≦ 2，f(x) 的圖形開口朝上，在 y 軸左方，與 y 軸交於正向 y 軸或原點，符合
(4) p ≦ -5，f(x) 的圖形開口朝上，與 y 軸交於負向 y 軸，不合


第 9 題
存在水平直線與函數 y = f(x) 的圖形有三個交點，且 f(α) + f(-2 - α) = -4
易知 f(x) 的反曲點為 (-1，-2)
b = 3a

又 a、d 為整數，且 ad = 3
可知 f(x) 有以下四種情形
f(x) = x^3 + 3x^2 + cx + 3
f(x) = 3x^3 + 9x^2 + cx + 1
f(x) = -x^3 - 3x^2 + cx - 3
f(x) = -3x^3 - 9x^2 + cx - 1
再利用 f(-1) = -2 和 f'(x) = 0 有兩相異實根，即可求出 f(x)

[v20160801]

請問第1題

[thepiano]

填充第 1 題
101 建中考過
參考 Pacers31 老師的妙解
https://math.pro/db/viewthread.php?tid= ... =3#pid9579

[thepiano]

填充第 7 題
設 AD 和 BE 交於 F
△ABF 和 △DBF 全等
AF = DF = 2

作 DG 平行 BE 交 AC 於 G
DG = (1/2)BE = 2，FE = (1/2)DG = 1，FB = 3
AE = EG = GC = √5，AB = BD = CD = √13

所求 = 3√5 + 3√13

[v20160801]

請問計算1

[thepiano]

計算第 1 題
f(t) = √(4 + 4sint) + √(2 + 2cost)
微分後令其為 0
可得 sint = 4/5，cost = 3/5 時，f(t) 有最大值 2√5

[thepiano]

計算第 4 題
tan(C/2)tan[(A - B)/2]
= cot[(A + B)/2]tan[(A - B)/2]
= {cos[(A + B)/2] / sin[(A + B)/2]}{sin[(A - B)/2] / cos[(A - B)/2]}
= [(1/2)(sinA - sinB)] / [(1/2)(sinA + sinB)] (積化和差)
= (a - b) / (a + b)