103 全國高中數學能力競賽

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103 全國高中數學能力競賽

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[新北市]
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thepiano
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Re: 103 全國高中數學能力競賽

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設 CE 到不相鄰邊的距離分別是 x,y,z
CD = a,DH = b,AD = c,MK = x
x = DN = ab/√(a^2 + b^2)
1/x^2 = 1/a^2 + 1/b^2
同理
1/y^2 = 1/b^2 + 1/c^2
1/z^2 = 1/c^2 + 1/a^2

1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 = 1/(2x^2) + 1/(2y^2) + 1/(2z^2)

1/a^2 = 1/(2x^2) + 1/(2z^2) - 1/(2y^2)
1/b^2 = 1/(2x^2) + 1/(2y^2) - 1/(2z^2)
1/c^2 = 1/(2y^2) + 1/(2z^2) - 1/(2x^2)

1/a = √[1/(2x^2) + 1/(2z^2) - 1/(2y^2)]
1/b = √[1/(2x^2) + 1/(2y^2) - 1/(2z^2)]
1/c = √[1/(2y^2) + 1/(2z^2) - 1/(2x^2)]

abc = (2√2)/√[(1/x^2 + 1/z^2 - 1/y^2)(1/x^2 + 1/y^2 - 1/z^2)(1/y^2 + 1/z^2 - 1/x^2)]
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[幾何][謝謝 thepiano 老師]

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Re: 103 全國高中數學能力競賽

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請參考附件,期待更快的方法...
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[代數]][謝謝 thepiano 老師]

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[中投區]
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Re: 103 全國高中數學能力競賽

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<a_n> = 1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,......
請自行思考為何會如此

所求 = 1 * 2 + (1/2) * 4 + (1/3) * 6 + (1/4) * 8 + ...... + (1/45) * 90 = 2 * 45 = 90

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[三角函數] 謝謝 thepiano 老師

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求函數 f(x)=|secx|+|(tanx)^2-1| 的最小值
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thepiano
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Re: 103 全國高中數學能力競賽

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令 t = |secx| ≧ 1
f(x) 改寫成 f(t) = t + |t^2 - 2|

分別畫出以下圖形
-√2 < t < √2
f(t) = -t^2 + t + 2

t ≧ √2,t ≦ -√2
f(t) = t^2 + t - 2

知 t = √2 時,f(t) 有最小值 √2

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[幾何][謝謝 thepiano 老師]

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請問幾何的問題
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Re: 103 全國高中數學能力競賽

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令 AB = 2x,AD = mx,AE = 3x,AC = 6x
BD = 2y,DE = 3y,EC = ny

利用 AD/AC = DE/EC 及 △ABE/△ADC = (AB * AE)/(AD * AC) = BE/CD
可求出 n,所求為 3/n,答案有點醜

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