113 中區聯盟國中

[thepiano]

請參考附件

第 3 題
題目有問題，答案應是 5/6

[math5566]

我想請問2.6.7.12.13.24.32.42.44謝謝

[thepiano]

第 2 題
2 的次方分別是 1、3、6、10、15、21、....、4950
每 3 個數中，第 1 個除以 3 餘 1，第 2、3 個是 3 的倍數
這 99 個數中，有 33 個數除以 3 餘 1，有 66 個是 3 的倍數

當 k 是 3 的倍數
由於 2^3 = 8 ≡ 1 (mod 7)
故 2^k ≡ 1 (mod 7)

當 k 除以 3 餘 1
2^k ≡ 2 (mod 7)

所求 ≡ 1 * 66 + 2 * 33 ≡ 132 ≡ 6 (mod 7)


第 6 題
x^2 - px - 276p = 0
令 x = py
(py)^2 - p(py) - 276p = 0
p(y^2 - y) = 276 = 2^2 * 3 * 23
p = 2 or 3 or 23

p = 2，y^2 - y = 138，y 不為整數，不合
p = 3，y^2 - y = 92，y 不為整數，不合
p = 23，y^2 - y = 12，y = 4 or -3

α = -69，β = 92


第 7 題
|a| + a + b = 10
a + |b| - b = 12

(1) a < 0
b = 10
a = 12，不合

(2) b ≧ 0
a = 12
b = -14，不合

故 a ≧ 0，b < 0

2a + b = 10
a - 2b = 12
......


第 12 題
PB = x
用餘弦定理算出 AC = √148，BC = √(x^2 + 6x + 36)

△ABC = △APB + △APC + △CPB
(1/2) * √148 * √(x^2 + 6x + 36) = (1/2)(8x + 48 + 6x)(√3/2)
148(x^2 + 6x + 36) = (14x + 48)^2 * (3/4)
148(x^2 + 6x + 36) = 3(7x + 24)^2
可解出 x = 60


第 13 題
R(b + c) = a√(bc) = 2RsinA√(bc)
(b + c)/(2√(bc)) = sinA ≦ 1
b + c ≦ 2√(bc)
b = c
sinA = 1，∠A = 90 度，∠B = ∠C = 45 度


第 24 題
設沒算到那個是 k 度
內角和 = 180(n - 2) = 2024 + k
n = (2384 + k)/180
2384/180 = 13 ... 44
n = 14


第 32 題
1、2、3 都至少出現一次，表示其中有一個數字出現兩次
所求 = (4!/2!) * 3


第 42 題
n 次都沒命中的機率 = (1/2)^n
1 - (1/2)^n > 9/10
(1/2)^n < 1/10
......


第 44 題
L_1 和 L_2 垂直，k = 4
Q(2，0)、R(1，0)
△PQR 中，∠P = 90 度，其外接圓半徑 = QR/2

[kab]

您好，我想請問23、40題，謝謝

[thepiano]

第 23 題
u = e^(-x)，du = -e^(-x)dx
v = sinx，dv = cosxdx

∫[e^(-x)cosx]dx = e^(-x)sin(x) - ∫{sinx * [-e^(-x)]}dx
= e^(-x)sin(x) + ∫[sinx * e^(-x)]dx

u = e^(-x)，du = -e^(-x)dx
t = -cosx，dt = sinxdx

e^(-x)sin(x) + ∫[sinx * e^(-x)]dx
= e^(-x)sin(x) + e^(-x)[-cos(x)] - ∫{[-cos(x)][-e^(-x)]}dx
= e^(-x)sin(x) - e^(-x)cos(x) - ∫[e^(-x)cos(x)]dx

∫[e^(-x)cosx]dx = e^(-x)[sin(x) - cos(x)]/2 + C

∫[e^(-x)cosx]dx (x 從 0 積到 ∞) = 0 - (-1/2) = 1/2


第 40 題
(√3/2 - i/2)^2022
= [cos(11π/6) + isin(11π/6)]^2022
= cos[2022(11π/6)] + isin[2022(11π/6)]
= cos(3707π) + isin(3707π)
= -1

[nj4up6]

想請教#39如何得知角C為直角？謝謝老師

[thepiano]

題目的圖忘了加垂直記號

[nj4up6]

謝謝老師