美夢成真教甄討論區

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第 77 題
當 f(x) = x + 1，g(x) = x
f(x)/g(x) = (x + 1)/x，在 x = 0 不可積

作 DE 垂直直線 BC 於 E
AC = x，AB = √(x^2 - 90)

AC / AD = BC / BE
DE = BE = 15 √10 / x

AC / CD = AB / DE
x / (x + 5) = √(x^ - 90) / (15 √10 / x)
(x + 5) √(x^2 - 90) = 15 √10
(x + 5)^2(x^2 - 90) = 2250
可看出 x = 10

第 K 題
a = (x^5 + 3x^4 + 4x^3 + 3x)^(1/5)
b = (x^3 + 3x^2 + 4x + 1)^(1/3)

a - b = (a^15 - b^15)/(a^14 + a^13b + ... + ab^13 + b^14)

a^15 - b^15 的最高次項是 -6x^14
a^14 + a^13b + ... + ab^13 + b^14 的最高次項是 15x^14

取完極限，答案是 -2/5

第 I 題 3 紅、4 綠、5 藍 (1) 先求紅、藍、綠依次被取完的情形 由於最後一顆是綠，剩 3 紅、3 綠、5 藍 在 11 個格子中先放 3 綠，有 C(11，3) = 165 種放法 剩 8 個空格，因為紅要比藍先取完，最後 1 個空格放 1 藍 剩 3 紅 和 4 藍，有 C(7，3) = 35 種放法 紅、藍、綠依次被取完的情形有 165 * 35 = 5775 種 (2) 再求紅球取完前，只先取出零顆或一顆藍球 在 11 個格子中先放 3 綠，有 C(11，3) = 165 種放法 剩 3 紅 和 5 藍，有以下 4 種放法 紅紅紅藍藍藍藍藍 藍紅紅紅藍藍藍藍 紅藍紅紅藍藍藍藍...

第 E 題
相當於扇形塗色
一個圓用其半徑分割成 n (n ≥ 2) 個相異扇形，用 k (k ≥ 1) 種顏色來塗色。
每一扇形塗一色，相鄰扇形皆異色，顏色可以重複使用且不一定 k 種顏色全用。
塗法數 a_n = (k - 1)^n + (-1)^n * (k - 1)

此題的 n = k = 6

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第 O 題，答案更改為 12

第 5 題
可參考 yymath 老師的解法
https://math.pro/db/thread-3820-2-1.html

第 2 題 2(cosx)^2 + sin2x - 2sin2xcos2x = 1 + cos2x + sin2x - 2sin2xcos2x 令 sin2x + cos2x = t，易知 -√2 ≦ t ≦ √2 2sin2xcos2x = (sin2x + cos2x)^2 - 1 = t^2 - 1 1 + cos2x + sin2x - 2sin2xcos2x = -t^2 + t + 2 = -(t - 1/2)^2 + 9/4 t = -√2 時，有最小值 -√2 第 4 題 2 ~ 2024 這 2023 個正整數中，有 1011 個奇數、1012 個偶數 裁判擦去一個奇數的機率...

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官方修正答案
填充第 5 題 無窮多個
填充第 6 題 4320