第 5 題
a_1 用 a 取代，b_1 用 b 取代
a + b = 1
a + d + br = 4
a + 2d + br^2 = 15
a + 3d + br^3 = 2
第二式減第一式：d + b(r - 1) = 3
第三式減第二式：d + br(r - 1) = 11
第四式減第三式：d + br^2(r - 1) = -13
第六式減第五式：b(r - 1)^2 = 8
第七式減第六式：br(r - 1)^2 = -24
r = -3，b = 1/2，a = 1/2，d = 5
c_6 = a_6 + b_6 = 51/2 + (-243/2) = -96
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Re: 113 武陵高中
第 4 題
定座標 A(1，0)、B(-1/2，√3/2)、C(cosθ，sinθ)，0 ≦ θ ≦ (2/3)π
cosθ = x - y/2
sinθ = (√3/2)y
x - y = cosθ - (1/√3)sinθ
剩下的就簡單了
第 14 題
z_1 = a + bi，z_2 = c + di
a + 2c = 0
b - 2d = -1
ac - bd = -3
ad + bc = 1
a = -2c 和 b = 2d - 1 代入後兩式
可解出 (a，b，c，d) = (2，1，-1，1) or (2，-2，-1，-1/2)
定座標 A(1，0)、B(-1/2，√3/2)、C(cosθ，sinθ)，0 ≦ θ ≦ (2/3)π
cosθ = x - y/2
sinθ = (√3/2)y
x - y = cosθ - (1/√3)sinθ
剩下的就簡單了
第 14 題
z_1 = a + bi，z_2 = c + di
a + 2c = 0
b - 2d = -1
ac - bd = -3
ad + bc = 1
a = -2c 和 b = 2d - 1 代入後兩式
可解出 (a，b，c，d) = (2，1，-1，1) or (2，-2，-1，-1/2)
Re: 113 鳳山高中
第 12 題
考慮 "至少有 1 個數字不超過 1" 和 "至少有 2 個數字不超過 2" 就好
不用考慮 "至少有 3 個數字不超過 3"，因為每個字串中的 4 個數字都不超過 3
用反面做法
全部 - "所有數字都超過 1" - "恰有 1 個數字(0 或 1 或 2)不超過 2，其他 3 個都超過 2"
= 4^4 - 2^4 - 4 * 3 + 4
= 232
最後加 4，是因為 2333、3233、3323、3332 這四個被扣了兩次，要加回來
考慮 "至少有 1 個數字不超過 1" 和 "至少有 2 個數字不超過 2" 就好
不用考慮 "至少有 3 個數字不超過 3"，因為每個字串中的 4 個數字都不超過 3
用反面做法
全部 - "所有數字都超過 1" - "恰有 1 個數字(0 或 1 或 2)不超過 2，其他 3 個都超過 2"
= 4^4 - 2^4 - 4 * 3 + 4
= 232
最後加 4，是因為 2333、3233、3323、3332 這四個被扣了兩次，要加回來
Re: 113 鳳山高中
第 7 題 [x/2] - [x/3] = x/7 整數減整數是整數，故 x 為 7 的倍數 (x/2 - 1) - x/3 ＜ x/7 ＜ x/2 - (x/3 - 1) -42 ＜ x ＜ 42 代入檢驗，可知 x = 21、7、0、-7、-14、-28 第 11 題 O(0，0)、P(12，5) OP 交圓 (x - 12)^2 + (y - 5)^2 = 2^2 於 C OP = 13，OC = 11 作 C 關於 y = √3x 的對稱點 E；關於 x 軸的對稱點 F OE = OF = OC = 11，∠EOF = 120 度 EF 交 y = √3x 於 A；交 x 軸於 B 所...
Re: 113 武陵高中
第 11 題 S_1 = a_1 是 6 的倍數之機率 = 1/6 S_2 = S_1 + a_2 是 6 的倍數之機率 = S_1 * (1/6) + (1 - S_1) * (1/6) = 1/6 第 1 個 1/6 是 a_2 = 6 之機率 第 2 個 1/6 是當 S_1 ≡ 1 (mod 6)，a_2 ≡ 5 (mod 6) 的機率，S_1 ≡ 2 (mod 6)，a_2 ≡ 4 (mod 6) 的機率，依此類推 ... S_n 是 6 的倍數之機率都是 1/6 所求 = 113/6 計算第 2 題 先證 a^3 + b^3 ≧ a^2b + ab^2 輪換的三式相加後，可得 2(...
Re: 112 臺北市國中
第 43 題 y = p(x - q)^2 + r，在 x = q 時，有最大值 r q = 4 第 47 題 梯形 ABCD，∠A = ∠B = 90 度，AB = 3、BC = 6、CD = 5、DA = 2 ...... 第 48 題 作直線 AF、BC、DE 可畫出正三角形 AF + FE = BC + CD = 17 FE + ED = AB + BC = 19 又 AF + FE + ED = 51 - (10 + 9 + 8) = 24 ...... 第 54 題 題目中的 2x - 3 應是 2x - 3c f(x) = 2{(x - b)(x - c)/[(a - b)(a ...
Re: 113 武陵高中
第 12 題 原點 O，OP = 2√5，OM = ON = 6 作矩形 PMQN 易知 OP^2 + OQ^2 = OM^2 + ON^2 OQ = 2√13 Q 在以原點為圓心，半徑 2√13 的圓上 |向量 PM + 向量 PN| = |向量 PQ| 的最小值出現在 O、P、Q 共線時 此時 PQ = 2√13 - 2√5 第 13 題 定座標 A(0，2)、B(4，2)、C(x，y)、M(x - 2，0)、N(x + 2，0) 利用 CA^2 = CM^2 可得 C 之軌跡為拋物線 x^2 = 4y，焦點 F(0，1)，準線 y = -1 d + BC = CF - 1 + BC，最小...
Re: 113 武陵高中
計算第 3 題 S_(n+1) = a_1 + a_2 + ... + a_(n+1) ≦ ra_n = r[S_n - S_(n-1)] S_n ≧ S_(n-1) + [S_(n+1)/r] ≧ 2√[S_(n-1)S_(n+1)/r] (S_n)^2 ≧ (4/r)S_(n-1)S_(n+1) S_(n-1)S_(n+1) ≦ (r/4)(S_n)^2 S_(n+1)/S_n ≦ (r/4)[S_n/S_(n-1)] ≦ [(r/4)^2][S_(n-1)/S_(n-2)] ≦ ... ≦ [(r/4)^(n-1)](S_2/S_1) 若 0 ＜ r ＜ 4，當 n → ∞，[(r/4)...