美夢成真教甄討論區

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第 2 題
a + c = 2b
sinA + sinC = 2sinB
2sin[(A + C)/2]cos[(A - C)/2] = 4sin(B/2)cos(B/2)
2cos[(A - C)/2] = 4sin(B/2)
√3 = 4sin(B/2)
sin(B/2) = √3 / 4
cosB = 1 - 2[sin(B/2)]^2 = 5/8

第 52 題
y = -x^2 + 4
y' = -2x

過 y = -x^2 + 4 上一點 (t，-t^2 + 4) 之切線 L 斜率 = -2t
過 (0，2) 和 (t，-t^2 + 4) 之直線 M 斜率 = (-t^2 + 4 - 2)/t
切線 L 和 直線 M 垂直時，(0，2) 到 y = -x^2 + 4 上一點有最短距離
(-2t)[(-t^2 + 4 - 2)/t] = -1
t = √(3/2)

所求即 (0，2) 和 (√(3/2)，5/2) 之距離

第 8 題 (x + √3 + ki)^5 = 32i = 2^5[cos(1/2 + 2n)π + isin(1/2 + 2n)π] (n = 0 ~ 4) x + √3 + ki = 2[cos(1/10 + 2n/5)π + isin(1/10 + 2n/5)π] x = -√3 - ki + 2[cos(1/10)π + isin(1/10)π] or -√3 - ki + 2[cos(5/10)π + isin(5/10)π] or -√3 - ki + 2[cos(9/10)π + isin(9/10)π] or -√3 - ki + 2[cos(13/10)π + isin(13...

第 9 題
y = x^2 + a，y = x，y^2 = x - a 會相切於同一點 (1/2，1/2)
可求出 a = 1/4

所求為 y = x^2 + 1/4，y = x，y 軸三者所圍成的面積 * 8

第 9 題
參考 weiye 老師的解法
https://math.pro/db/viewthread.php?tid= ... =1#pid2814

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第 6 題 1000 個小正方體中 3 面紅漆：8 塊 2 面紅漆：8 * 12 = 96 塊 1 面紅漆：8 * 8 * 6 = 384 塊 先求任取一塊的期望值，再乘以 2 第 9 題 直線 BH 交 AC 於 D B、H、D 共線 向量 AH = (1/3)向量 AB + (2/3)向量 AD = (1/3)向量 AB + (1/4)向量 AC AD = (3/8)AC A(0，0)、D(3a，0)、C(8a，0)、B(3a，3b)、H(3a，b) 利用直線 AH 和 BC 垂直，斜率相乘 = -1，可得到 a 和 b 之關係 所求 = AD/AB 計算第 1 (2) 題 當 n → ∞...

第 5 題
設內切圓和 AB 切於 P，易知 AP = 1/2，IP = √3 / 2，AI = 1
設 AI 和 BC 交於 E，易求出 AE = 15/8，BE = 21/8，CE = 35/8
利用圓幂定理可求出 DE = 49/8
AD = AE + DE = 8，ID = AD - AI = 7

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