美夢成真教甄討論區

第 10 題
答案 a_1 = a_2，且 a_1 是整數

k = 2sin(1/10)π 時

兩個相異實根是
x = -√3 + 2cos(1/10)π
和 -√3 + 2cos(9/10)π

而以下兩者是複數根
-√3 - ki + 2[cos(13/10)π + isin(13/10)π]
-√3 - ki + 2[cos(17/10)π + isin(17/10)π]

選擇第 8 題
P(-12 + 10√2，-15 + 10√2)、Q(-12 - 10√2，-15 - 10√2)
F'(-3，0)

PF' + QF' = 30√2

題目有誤！


出題者被自己畫的圖誤導
他的原意應是
PF' - PF + QF' - QF = 2a + 2a = 8
PF' + QF' = PF + QF + 8 = PQ + 8 = = 40 + 8 = 48

但正確的圖應是
PF' - PF + QF - QF' = 2a + 2a = 8

填充第 6 題
若 n 是奇數
令 n = 2k + 1，則此等差數列的平均數為第 k 項

等差數列的每一項與平均數的差，分別是 -kd、-(k - 1)d、...、0、...、(k - 1)d、kd

變異數 = [(-kd)^2 + [-(k - 1)d]^2 + ... + [(k - 1)d]^2 + (kd)^2] / (2k + 1) = 260
2(√13/2)^2 * (1^2 + 2^2 + ... + k^2) = 260(2k + 1)
k = 15
n = 31

請參考附件

第 2 題
a + c = 2b
sinA + sinC = 2sinB
2sin[(A + C)/2]cos[(A - C)/2] = 4sin(B/2)cos(B/2)
2cos[(A - C)/2] = 4sin(B/2)
√3 = 4sin(B/2)
sin(B/2) = √3 / 4
cosB = 1 - 2[sin(B/2)]^2 = 5/8

第 52 題
y = -x^2 + 4
y' = -2x

過 y = -x^2 + 4 上一點 (t，-t^2 + 4) 之切線 L 斜率 = -2t
過 (0，2) 和 (t，-t^2 + 4) 之直線 M 斜率 = (-t^2 + 4 - 2)/t
切線 L 和 直線 M 垂直時，(0，2) 到 y = -x^2 + 4 上一點有最短距離
(-2t)[(-t^2 + 4 - 2)/t] = -1
t = √(3/2)

所求即 (0，2) 和 (√(3/2)，5/2) 之距離

第 8 題 (x + √3 + ki)^5 = 32i = 2^5[cos(1/2 + 2n)π + isin(1/2 + 2n)π] (n = 0 ~ 4) x + √3 + ki = 2[cos(1/10 + 2n/5)π + isin(1/10 + 2n/5)π] x = -√3 - ki + 2[cos(1/10)π + isin(1/10)π] or -√3 - ki + 2[cos(5/10)π + isin(5/10)π] or -√3 - ki + 2[cos(9/10)π + isin(9/10)π] or -√3 - ki + 2[cos(13/10)π + isin(13...

第 9 題
y = x^2 + a，y = x，y^2 = x - a 會相切於同一點 (1/2，1/2)
可求出 a = 1/4

所求為 y = x^2 + 1/4，y = x，y 軸三者所圍成的面積 * 8

第 9 題
參考 weiye 老師的解法
https://math.pro/db/viewthread.php?tid= ... =1#pid2814