美夢成真教甄討論區

第 17 題
先把橢圓視為半徑 5 的圓
此時 △PAB 面積最小時是正三角形，高 = 5 * 3 = 15，面積是 75√3

再伸縮 3/5 變回橢圓
當 a = 15 * (3/5) = 9 時，△PAB 有最小面積 75√3 * (3/5) = 45√3

第 18 題
作 C’E 垂直 AB 於 E，作 C’H 垂直平面 ABC 於 H，作 DG 垂直平面 ABC 於 G
DG = 10√33
C’E = 15√3，C’H / C’E = √11 / 6，C’H = (5/2)√33
CC’ / CD = C’H / DG
CC’ = 15

第 1 題
設 AO 交 BC 於 P，AO = r，AP = s，0＜s ≦ r/2
向量 AO = (r/s)向量 AP = (r/s)(m向量 AB + n向量 AC)，其中 m + n = 1
x = (r/s)m，y = (r/s)n
x + y = r/s ≧ r/(r/2) = 2

請參考附件

第 15 題
x^2/4 + y^2/3 = 1
a = 2、b = √3、c = 1
A(-1，0) 是左焦點，x = -a^2/c = -4 是左準線

橢圓上一點 P 到 x = -4 的距離 = 2PA

過 P 作 x = -4 之垂線，垂足為 Q
2PA + PB = PQ + PB ≧ BQ ≧ 5，此時 Q(-4，1)

第 7 題
3 點共線：3 種 (直)
4 點共線：1 種 (橫)
5 點共線：2 種 (斜)
7 點共線：1 種 (橫)

直線 m = C(17，2) - C(3，2) * 3 - C(4，2) - C(5，2) * 2 - C(7，2) + (3 + 1 + 2 + 1)
= 136 - 9 - 6 - 20 - 21 + 7
= 87

三角形 n = C(17，3) - C(3，3) * 3 - C(4，3) - C(5，3) * 2 - C(7，3)
= 680 - 3 - 4 - 20 - 35
= 612

m + n = 699

三向量的三個終點，形成四面體的底面三角形，就張成四面體了，不是只能張成平行六面體

這題是利用比例關係去算，不用乘以 1/6

如果還是不易理解，把 A、B、C 轉成 x 軸、y 軸、z 軸上的單位向量
考慮平面 x + y + z = 2 和 x + y + z = 4 在第一卦限所夾的區域體積
最後用比例關係就可求出答案

第 10 題 湊數字而已 2x^2 - 6x + 9 = x^2 + (x - 3)^2 以下底數 3 省略 2x^2 - 16x + (logx)^2 - 2xlogx + 4logx + 40 = (x^2 - 12x + 36) + x^2 - 4x + (logx)^2 - 2xlogx + 4logx + 4 = (x - 6)^2 + [(x - 2) - logx]^2 = (x - 6)^2 + [(x - 3) - (logx - 1)]^2 O(0，0)、A(x，x - 3)、B(6，logx - 1) 所求即 OA + AB 的最小值，出現在 OA + AB = OB 時...

三向量所張之四面體體積

第 2 題
zidanesquall 老師已解
https://math.pro/db/viewthread.php?tid= ... 1#pid25737