美夢成真教甄討論區

第 12 題
把 "比" 看成 "除號"，再寫成分數的形式

1 必在分子，2 必在分母
3 ~ 8 可用括號控制它們放在分母或分子，有 2^6 = 64 種情形

由於 3 * 8 = 4 * 6
當 3 和 8 在分子，而 4 和 6 在分母時，5 和 7 有 2^2 = 4 種放法
當 4 和 6 在分子，而 3 和 8 在分母時，上面 4 種比值會重複

故所求 = 64 - 4 = 60 種

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第 3 題 104 桃園高中考過，可參考 https://math.pro/db/attachment.php?aid=2833&k=65c61837ba8ea51106ac516da8497f17&t=1713502938 計算第 1 題 (1) 排序不等式 (2) 不失一般性，可設 a ≧ b ≧ c ＞ 0 (c^2 - a^2)/(a + b) + (a^2 - b^2)/(b + c) + (b^2 - c^2)/(c + a) = (c^2 - b^2)/(a + b) + (b^2 - a^2)/(a + b) + (a^2 - b^2)/(b + c) + (b^2 - c^2...

第 53 題
a + 91 是 7 的倍數
因為 91 是 7 的倍數，所以 a 是 7 的倍數
又 a 是 9 的倍數，故 a = [7，9] = 63

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第 39 題
abc + d = abd + c = acd + b = bcd + a = 5/2
1/d + d = 1/c + c = 1/b + b = 1/a + a = 5/2
a = b = c = d = 2 or 1/2

由於 abcd = 1，故 a、b、c、d 中必是 2 個 2 和 2 個 1/2
所求 = C(4，2) = 6

第 5 題
a_1 用 a 取代，b_1 用 b 取代

a + b = 1
a + d + br = 4
a + 2d + br^2 = 15
a + 3d + br^3 = 2

第二式減第一式：d + b(r - 1) = 3
第三式減第二式：d + br(r - 1) = 11
第四式減第三式：d + br^2(r - 1) = -13

第六式減第五式：b(r - 1)^2 = 8
第七式減第六式：br(r - 1)^2 = -24

r = -3，b = 1/2，a = 1/2，d = 5

c_6 = a_6 + b_6 = 51/2 + (-243/2) = -96

第 4 題
定座標 A(1，0)、B(-1/2，√3/2)、C(cosθ，sinθ)，0 ≦ θ ≦ (2/3)π
cosθ = x - y/2
sinθ = (√3/2)y

x - y = cosθ - (1/√3)sinθ
剩下的就簡單了


第 14 題
z_1 = a + bi，z_2 = c + di

a + 2c = 0
b - 2d = -1
ac - bd = -3
ad + bc = 1

a = -2c 和 b = 2d - 1 代入後兩式
可解出 (a，b，c，d) = (2，1，-1，1) or (2，-2，-1，-1/2)

第 12 題
考慮 "至少有 1 個數字不超過 1" 和 "至少有 2 個數字不超過 2" 就好

不用考慮 "至少有 3 個數字不超過 3"，因為每個字串中的 4 個數字都不超過 3

用反面做法
全部 - "所有數字都超過 1" - "恰有 1 個數字(0 或 1 或 2)不超過 2，其他 3 個都超過 2"
= 4^4 - 2^4 - 4 * 3 + 4
= 232

最後加 4，是因為 2333、3233、3323、3332 這四個被扣了兩次，要加回來